Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

- 51Пф+-(2),

[5Шф+2ру(2)(ф)+ ••1 + rfy(2) (ф)

COS ф + р -

Pif-/?2(P. Ф. у.

(43.8)

где Rl, R2-аналитические функции переменных р, li, .... „, разложения которых не содержат свободных членов. Коэффициенты этих разложений являются периодическими функциями ф периода 2л.

Разрешим уравнения (43.8) относительно и р - . Определитель А

этих линейных относительно указанных величий уравнений имеет вид

Л=1 + р

cos ф 4- 2 cos фх<2) (ф) - Sin ф 4-

4-2з1пфу(2)(ф)1+р2(...)+ ....

откуда вытекает, что величина будет аналитической функцией р,

разложение которой по степеням этой переменной имеет периодические относительно ф коэффициенты. Следовательно, имеем:

df=R(P Ф> 1.....U

р=Ф(р, ф, ll, у.

(43.9)

где и Ф - функции такого же вида, как и Ri, R2, т. е. аналитические относительно р и 1,, периодические относительно ф и обращающиеся в нуль при p==rj= ... =1 = 0.

Последние п уравнений (43.1) после подстановки (43.7) примут

= Psih 4 •. • + Psnln+Ps (Ф) р+а. (p. Ф. ll.....in). (43.10)

где Р, (ф) - некоторые периодические функции ф периода 2я,

а - аналитические функции переменных р, li.....„, разложения

которых начинаются членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих разложений являются периодическими функциями ф периода 2л.

Периодическое решение (43.5) и (43.6) уравнений (43.1) в переменных р, ф, 1 принимает, очевидно, вид

р:=с. ф=т. 1=0 (8=1, 2.....п). (43.11)

Тогда первые два уравнения (43.1) примут вид

[С05ф + 2рх(2)(ф)+ ...1-1-4-

йл:(2) (ф)



Следовательно, уравнения (43.9) и (43.10) имеют частное решение (43.11), а для этого, очевидно, необходимо, чтобы выполнялись равенства

Р,(Ф) = 0, /?(р. ф, 0.....0) = S,(p, ф. 0.....0) = 0

(5= 1, 2.....п).

Но в таком случае система (и--1)-го порядка, состоящая из первого уравнения (43.9) и уравнений (43.10), в которых т является некоторой неизвестной функцией времени, является частным случаем систем (34.2), рассмотренных нами в § 34. Согласно результатам этого параграфа невозмущенное движение р =: j = ... =: = О вышеуказанной системы (и--1)-го порядка устойчиво. Но тогда по характеру подстановки (43.7) устойчивым будет и невозмущенное движение х = у - ... = х„ - 0 системы (43.1).

Итак, мы показали, что в особенном случае невозмущенное движение устойчиво и уравнения возмущенного движения допускают периодическое решение, определяемое формулами (43.5) и (43.6).

Таким образом, задача устойчивости в особенном случае решается просто. Но, к сожалению, у нас нет общего приема, который позволил бы нам заранее узнать, что рассматриваемый случай является особенным. В самом деле, если мы имеем особенный случай, то сколько бы членов в уравнениях (43.4) мы ни рассмотрели, у нас не будет уверенности, что, рассмотрев члены еще более высокого порядка, мы не придем к случаю фокуса.

Можно, однако, указать один общий признак, при выполнении которого можно не сомневаться, что рассматриваемый случай будет особенным.

Допустим, что уравнения (43.1) допускают первый интеграл вида х+у + Р(х, у, Ху.....лг„) = const., (43.12)

где F - аналитическая функция переменных лг, у, л:,, разложение которой начинается членами не ниже третьего порядка. Покажем, что если это выполняется, то рассматриваемый случай будет особенным.

В самом деле, заменив в интеграле (43.12) величины л:, рядами (43.3), которые дают, по крайней мере, формальное решение системы (43.2), мы получим ряд, который, по крайней мере, формально является первым интегралом системы (43.4), т. е. все члены ряда

[-1у + Х(х. у. v,)]- + [Xx + Yix. у, v,)]--,

Н==х-у + Р(х, у, vi(x, у).....v„(x. у))

уничтожаются. Но в таком случае для системы (43.4), как это вытекает из рассуждений § 37, точка л: = у = О является центром, что и доказывает наше предложение.



) М а л к и н И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1956.

А. М. Ляпунов показал, что справедливо и обратное предложение, т. е. ЧТО в особенном случае система (43.1) необходимо имеет первый интеграл вида (43Л 2).

А. М. Ляпунов далее показал, что если уравнения (43.1) имеют первый интеграл вида (43.12), то эти уравнения обладают периодическим решением, определяемым формулами (43.5), (43.6), вне зависимости от того, будут ли вещественные части корней уравнения (40.2) отрицательными или нет. Важно только, чтобы ни один из этих корней не был вида +NXI, где N - целое положительное число или нуль.

Указанные периодические решения играют большую роль в теории нелинейных колебаний. Мы не останавливаемся здесь на этом вопросе, отсылая читателей к нашей книге), где он подробно освещен.

§ 44. «Опасные» и «безопасные» границы области устойчивости.

В заключение этой главы рассмотрим вопрос о так называемых «опасных» и «безопасных» границах области устойчивости. Этот вопрос непосредственно связан с тем понятием «практической» устойчивости, о котором мы говорили в § 4.

Пусть

= .1, + • • • + Qsnn + (1.....х„) (5 = 1, 2.....„) (44.1)

- дифференциальные уравнения возмущенного движения, где, как и обычно, разложения функций начинаются членами не ниже второго порядка. Рассмотрим неравенства

Re(p,)<0 (5=1, 2.....п), (44.2)

где pj.....р„ - корни характеристического уравнения системы первого приближения. Эти корни являются функциями некоторых параметров, характеризующих рассматриваемую динамическую систему. Если рассматривать пространство этих параметров, то неравенства (44.2) определяют в этом пространстве некоторую область. Это будет область устойчивости системы по отношению к исследуемому невозмущенному движению, так как при выполнении (44.2) невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Напротив, совокупность всех точек пространства параметров, в которых хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, определяет область неустойчивости.

Границей, отделяющей область устойчивости от области неустойчивости, является совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых хотя бы одно из неравенств (44.2) переходит



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0105