Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [58] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Корень характеристического уравнения первого приближения равен здесь а2 и, следовательно, положителен. Невозмущенное движение неустойчиво по Ляпунову. Однако, каково бы ни было начальное значение величины х, эта величина, как было показано в § 4, с неограниченным возрастанием t стремится либо к --а, либо к -а, т. е. практически к положению равновесия л; = 0, если а очень мало. Напротив, если уравнение движения имеет вид

= -о?х + х\

то корень характеристического уравнения будет отрицателен и невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

в равенство, т. е. на границе хотя бы некоторые корни р, являются критическими. При значениях параметров, соответствующих точкам границы, невозмущенное движение может быть как устойчивым, так и неустойчивым в зависимости от вида функций Х.

Допустим, что параметры системы лежат в области устойчивости, так что вещественные части всех корней р отрицательны. Невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. При этом, если все функции Xg обращаются в нуль, то устойчивость будет иметь место, каковы бы ни были начальные возмущения. Но если хотя бы некоторые из функций Х отличны от нуля, то устойчивость будет иметь место, вообще говоря, при начальных возмущениях, не превышающих некоторых пределов. В § 26 мы указали некоторые приемы, позволяющие оценить эти весьма важные для практики величины. Из рассуждений этого параграфа легко усмотреть, что если величины вещественных частей хотя бы некоторых из корней численно малы, другими словами, если система находится вблизи границы области устойчивости, то максимальные значения допускаемых начальных возмущений могут оказаться очень малыми. В справедливости этого мы сейчас убедимся и из других соображений. Если такое обстоятельство действительно имеет место, то рассматриваемую систему с точки зрения практической придется рассматривать как неустойчивую.

Аналогичные обстоятельства могут иметь место и в случае, когда система находится в области неустойчивости, но очень близко от границы. В этом случае, несмотря на то, что невозмущенное движение неустойчиво по Ляпунову, его иногда с точки зрения практической можно будет считать устойчивым, вследствие того что максимальные отклонения системы от невозмущенного движения могут оказаться очень малыми.

С такого рода практической устойчивостью, несмотря на неустойчивость по Ляпунову, мы встретились в § 4 на примере уравнения



Однако если величина а очень мала, то с точки зрения практической это движение нужно будет считать неустойчивым, так как limx= +00, если начальное значение х численно больше а. В этом

сразу убеждаемся, если заметим, что при х >а справедливо нера-

венство X > 0.

Таким образом, возникает практически важный вопрос о поведении динамической системы вблизи границ области устойчивости. Этот вопрос исследован Н. Н. Баутинымкоторый рассматривал лишь такие участки границы области устойчивости, на которых либо только один корень, либо только два корня являются критическими, причем во втором случае предполагается, что оба корня отличны от нуля и, следовательно, являются чисто мнимыми. В первом случае, когда имеется один критический корень, он, очевидно, обращается в нуль. Н. Н. Баутин показал, что в этих случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется их поведением на самой границе.

В обоих рассматриваемых случаях дифференциальные уравнения возмущенного движения могут быть представлены в виде

dx, dt

= p.iXi + ... + р,„х„ + ц (r.iXi + ... + r,„x„) + X, (44.3) (s= 1, 2.....«).

Здесь Psa и Ksa - некоторые постоянные, причем psa такие, что уравнение

Ри ~Р Рп Рт

Рпп -9

(44.4)

имеет либо один нулевой корень, либо пару чисто мнимых корней при остальных корнях с отрицательными вещественными частями. Величина р. является малым параметром, характеризующим степень близости систгмы к границе области устойчивости. Этот параметр предполагается настолько малым, что характеристическое уравнение

Рп + М-п - Р Ри+ M-is • • Ры + M-i«

Рп\ + Р«2 + 1«2 • • • Р«« + М-«« -Р

) Баутин Н. Н., Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости, Гостехиздат, 1950. К рассматриваемому вопросу примыкает также работа: Кузьмин П. А., Замечание о смене устойчивости установившихся движений. Сборник трудов Казанского авиац. ин-та, № 10, 1939.



асимптотически устойчиво. Тогда, как мы видели, будем ли мы иметь дело с одним нулевым корнем или с парой чисто мнимых корней, для уравнений (44.5) будет существовать функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям теоремы Б. Обозначим эту функцию через

V{Xi.....д;„). Предполагая для определенности, что эта функция

положительная, будем иметь, что выражение

«(1.....„) = 2(/л1+ ... -i-PsnXn-i-X,)- (44.6)

представляет собой функцию определенно отрицательную. Воспользуемся геометрической интерпретацией теоремы Б, данной в § 11. Рассмотрим систему замкнутых поверхностей V = h. Поверхности этого семейства, расположенные достаточно близко от начала координат, пересекаются интегральными кривыми уравнений (44.5) снаружи во внутрь. Пусть V - hyK V = h2 - две такого рода поверхности. При этом первую из этих поверхностей, которую мы предполагаем расположенной внутри второй (рис. 10), мы можем взять сколь угодно близкой к началу координат. Напротив, вторую поверхность мы можем взять сколь угодно близкой к наибольшей из поверхностей семейства, которая еще пересекается интегральными кривыми уравнений (44.5) во внутрь.

Составим теперь производную от функции V по / в силу уравнений (44.3). Будем иметь:

= г + fx 2 {г,,х, + ... + г,„л;„) 1. (44.7)

Так как функция W является определенно-отрицательной, то для всех точек, расположенных между поверхностями V = Ai и V = h2, выполняется неравенство W <С-/, где / - отличное от нуля положительное число. Отсюда следует, что во всех этих точках выражение (44.7) будет принимать отрицательные значения, если только число fx достаточно мало. Следовательно, при достаточно малом р,

имеет столько же корней с отрицательными вещественными частями, как и уравнение (44.4), т. е. либо п - 1, либо п - 2. Остальные корни этого уравнения могут иметь как отрицательные, так и положительные вещественные части, т. е. система (44.3) может находиться как в области устойчивости, так и в области неустойчивости.

Допустим сначала, что на границе рассматриваемая система асимптотически устойчива. Другими словами, допустим, что невозмущенное движение для системы

= PsiXi + .. . + Psnn + X, (44.5)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [58] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019