Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

все поверхности V = h, расположенные между V = hi и V = h2, пересекаются интегральными кривыми полной системы (44.3) снаружи во внутрь. И это будет иметь место независимо от того, находится ли система (44.3) в области неустойчивости или в области устойчивости.

Следовательно, если точка дг,.....х„, изображающая систему (44.3),

попадает в область между поверхностями 1 = й, и V = h2, то она будет приближаться к началу координат, по крайней мере, до области, ограниченной поверхностью V = Ai. Эта область, однако, может быть сделана сколь угодно малой, если ц достаточно мало, т. е. если система находится достаточно близко от границы области устойчивости. И если даже при этом система находится в области неустойчивости, мы можем все же считать, что невозмущенное движение практически устойчиво, так как возмущения, будучи в начальный момент очень малыми, хотя и будут нарастать, все же останутся практически очень малыми (сколь угодно малыми при [х, достаточно малом). Более того, если начальные возмущения не будут очень малыми, то они будут уменьшаться, делаясь в конце концов очень малыми (сколь угодно малыми при (X, достаточно малом). И лишь только когда начальные возмущения достаточно велики и выходят за область, ограниченную поверхностью V = h2. они могут в дальнейшем не уменьшаться.

Если система находится в области устойчивости, то можно показать, что функцию V можно выбрать таким образом, чтобы не только выражение (44.6), но и выражение (44.7) было определенно-отрицательным ). Следовательно, можно положить Ai = 0. Невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым, причем для допускаемых возмущений будут существовать определенные конечные границы, не зависящие от ц, т. е. от степени близости системы к границе области устойчивости.

Таким образом, если на границе области устойчивости система асимптотически устойчива, то вблизи этой границы устойчивость,


Рис. 10.

) Построенные нами функции Ляпунова для случая одного нулевого корня и для случая пары чисто мнимых корней останутся функциями Ляпунова для системы, которая получится, если, непрерывно меняя коэффициенты первого приближения, сделать вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательными. Для этого нужно будет только подходящим образом выбрать независимые переменные.



если она имеет место, не может перейти в «практическую» неустойчивость. Напротив, неустойчивость, если она имеет место, может рассматриваться с точки зрения практической как устойчивость.

Вышеприведенные геометрические соображения могут быть доказаны строго аналитически. Мы это сделаем в главе VI, где они получатся как частный случай более общей теоремы. Там же будет показано, что все вышеуказанное будет справедливо и в общем случае, когда на границе области устойчивости имеется любое число критических корней.

Допустим теперь, что на рассматриваемом участке границы области устойчивости невозмущекнсе движение неустойчиво. Тогда как в случае олного н) левого корня, так и в случае пары чисто мнимых корней для уравнений (44.5) будет существовать функция Ляпунова V{Xi, х„), удовлетворяющая условиям теоремы В. Следова-

тельно, выражение (44.6) будет по-прежнему знакоопределенным. Что же касается самой функции V, то она в окрестности начала координат может принимать значения того же знака, что и (44.6).

Примем для определенности, что выражение (44.6) определенно-положительно, и рассмотрим область, в которой У>0 (рис. 11). Эта область ограничена поверхностью V = 0. Построим в этой области семейство поверхностей V = h, где Л > 0. Так как производная (44.6) положительна, то эти поверхности пересекаются интегральными кривыми уравнений (44.5) в сторону возрастания V.

Выделим из семейства V = h две поверхности V - h и У = Й2, где Al можно взять сколь угодно малым, так что поверхность V ~ Рис. 11. сколь угодно близка к поверхно-

сти V = 0. Так как функция (44.6) определенно-положительна, то в области, заключенной между пбверх-ностями V - fly и V - она имеет отличный от нуля положительный нижний предел ). Но тогда в этой области производная (44.7) будет также положительной, если только величина [х достаточно мала. Следовательно, все поверхности V = h, заключенные между поверхностями V = и V ~ h, пересекаются интегральными кри-


) Мы рассматриваем, разумеется, во всех наших рассуждениях только те точки, которые лежат в некоторой окрестности начала координат, в которой функция V обладает своими свойствами.



dt ~ dt d

описывающих при некоторых упрощающих предположениях движение самолета с автопилотом. Не останавливаясь на выводе этих уравнений ), укажем лишь значения входящих в эти уравнения величин.

) Его можно найти, например, в работе: Б у тени и Н. В., Автоколебания стенда с автопилотом. Труды Ленингр. воен.-возд. акад., т. 3, 1943.

выми не только уравнений (44.5), но и уравнений (44.3) в сторону возрастания V. Поэтому изображающая точка, попав в область между поверхностями V = Aj и VAg, будет все дальше отбрасываться от начала координат, пока она не выйдет за пределы поверхности V = h2, расположенной на конечном расстоянии от начала координат. Очевидно, мы имеем дело с неустойчивостью, по крайней мере, с точки зрения практической. В самом деле, если даже невозмущенное движение устойчиво, что будет иметь место, если система (44.3) находится в области устойчивости, то область допускаемых начальных возмущений должна быть во всяком случае настолько малой, чтобы поверхность V = Aj была расположена вне ее. Что касается последней, то она при fx, достаточно малом, т. е. при достаточной близости системы к границе области устойчивости, будет расположена сколь угодно близко к началу координат.

Итак, когда на границе области устойчивости невозмущенное движение неустойчиво, то если система находится вблизи указанной границы, безразлично, в области неустойчивости или в области устойчивости, всегда найдутся очень малые (сколь угодно малые при достаточной близости к границе) начальные возмущения, которые будут с течением времени нарастать так, что соответствующее возмущенное движение будет значительно отличаться от невозмущенного.

Все предыдущие рассуждения показывают, что невозмущенное движение системы при близости к границе области устойчивости будет с точки зрения практической устойчивым или неустойчивым, в зависимости от того, будет ли это движение на самой границе устойчивым или неустойчивым в смысле Ляпунова.

В связи с этим те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво, называют «безопасными», а те границы, на которых оно неустойчиво, - «опасными».. Нахождение «опасных» и «безопасных» границ сводится к решению задачи устойчивости в критических случаях.

Пример. Рассмотрим в качестве примера систему дифференциальных уравнений

+Ж + АФ = А/,,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0062