Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

основная задача: установить необходимые и достаточные условия устойчивости по первому приближению. Эту задачу поставил Ляпунов, который дал полное ее решение для установившихся и периодических решений. Ляпунов дал также решение задачи и для широкого класса неустановившихся движений. Выяснив условия, при которых задача решается в первом приближении, Ляпунов рассмотрел также некоторые основные случаи, когда при исследовании устойчивости нельзя ограничиться рассмотрением первого приближения. Все эти капитальные результаты излагаются ниже.

Для решения поставленных задач Ляпунов разработал специальные приемы. Все эти приемы и вообще все способы решения задачи устойчивости Ляпунов разделяет на две категории. К первой категории он относит те способы, которые приводятся к непосредственному рассмотрению возмущенного движения, т. е. к определению общего или частного решения соответствующих дифференциальных уравнений. Эти решения приходится обычно искать под видом некоторых рядов Совокупность всех способов первой категории Ляпунов называет первым методом ).

Можно, однако, указать и другие способы решения задачи устойчивости, которые не требуют нахождения частных или общих решений уравнений возмущенного движения, а приводятся к отысканию

некоторых функций от t, .....х„, обладающих специальными

свойствами. Примером может служить известная теорема Лагранжа об устойчивости равновесия, когда силовая функция обращается в максимум. Здесь устойчивость обеспечивается существованием силовой функции, обладающей специальными свойствами. Совокупность всех способов второй категории Ляпунов называет вторым методом.

В основу своего второго метода Ляпунов кладет несколько основных установленных им теорем. Эти теоремы оказались настолько эффективными, что при помощи их удалось исключительно просто разрешить задачу об устойчивости по первому приближению. Вместе с тем они позволили Ляпунову рассмотреть и некоторые основные случаи, когда первое приближение задачи не решает и, следовательно, когда эта задача делается особенно сложной.

Второй метол Ляпунова является и в настоящее время основным методом решения задачи устойчивости

Изложению основных теорем второго метода Ляпунова и его приложений посвящена следующая глава. При этом для простоты мы ограничиваемся сначала лишь установившимися движениями. Общий случай неустановившихся движений рассматривается в главах V и VI.

) См. примечание в конце книги (стр. 517). 2) См. примечание в конце книги (стр. 518).



ГЛАВА II.

ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.

§ 6. Основные определения.

Мы переходим теперь к изложению основных положений второго метода Ляпунова исследования устойчивости движения. В этой главе мы ограничиваемся, однако, рассмотрением только установившихся движений. Мы будем, следовательно, предполагать, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

"".Yx,.....х„) (5=1. 2.....я), (6.1)

где X не зависят явно от t.

В своем исследовании Ляпунов предполагал, что функции Х представляют собой степенные ряды, расположенные по степеням Xi.....х„, сходящиеся в области

х,<Я (5=1, 2.....я). (6.2)

где Н - некоторая постоянная. Однако все положения второго метода Ляпунова и все связанные с ними доказательства полностью сохраняют силу и при более общих предположениях. Мы заменим поэтому предположение Ляпунова об аналитичности функций Х значительно более общим условием, а именно, мы будем только предполагать, что функции Х в области (6.2) непрерывны и притом такие, что уравнения (6.1) для каждой системы начальных значений х величин х, лежащих в области (6.2), допускают единственное решение.

Нам придется рассматривать в дальнейшем некоторые функции

V(xi.....х„) переменных х...... х„, определенные в некоторой

окрестности начала координат. Относительно этих функций мы будем всегда предполагать, что они однозначны, обращаются в нуль при X] = ... = х„ = О и обладают непрерывными частными производными.

Определение 1. Функция V(х,.....х„) называется знако-

определенной {определенно-положительной или определенно-



отрицательной), если она при

xJ<A, (6.3)

где h - достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль только при х = ... -х„ = 0.

Определение 2. Функция V{Xi.....х„) называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (6.3) может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при х\- ... +х\фО.

Определение 3. Функция V{х.....x„) называется знакопеременной, если она не является ни знакоопределенной, ни знакопостоянной и, следовательно, как бы мало ни было число h, может принимать в области (6.3) как положительные, так и отрицательные значения.

Поясним эти определения примерами. Допустим для определенности, ЧТО « = 3. Тогда функции

У=x+x+xз, V = х]+2х,х,- 2x1- х1

будут определенно-положительными, и при этом величина h в неравенствах (6.3) может быть взята сколь угодно большой. Функция

Vx\-{-xl+xl-xl,

как мы увидим ниже, будет также определенно-положительной, но теперь уже величина А должна быть взята достаточно малой. Функции

будут обе знакопостоянными .(положительными). Действительно, обе они могуть принимать кроме положительных еще и нулевые значения при значениях х, х, Х3, не равных нулю одновременно (вторая- при Xi = X2 = 0 и Хз произвольном), функции

V = x, V==x\-x\~x\ будут, очевидно, знакопеременными ).

§ 7. Признаки знакоопределенности и знакопеременности функций.

Как мы увидим ниже, для практического применения второго метода Ляпунова необходимо знать критерии знакоопределенности и и знакопеременности функций. К сожалению, общих критериев такого рода не существует, и задача в общем случае весьма сложна. Однако



0 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0081