Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Эти значения суть следующие: ф - угол рыскания самолета, ti - угол поворота руля, ijj-аргумент сервомотора (например, открытие золотника), управляющего рулем, Р() - характеристика сервомотора. Все постоянные М, k, N, р, а положительны. При этом М характеризует естественное демпфирование самолета, характеризует рулевое устройство, k характеризует статическую устойчивость самолета,

Р-коэффициент искусственного демпфирования, --коэффициент

обратной связи.

Характеристику сервомотора примем в виде

/(я15) = ая1, + 7г)3.

Тогда, вводя переменные

Т1==д;1, ф=д;2, -f=X3,

мы будем иметь следующие уравнения движения:

dX2

-!г= - Nxy - kx - Мх. Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет

A(p) = p3 + jt,p2 + 9P + r = 0, (44.9)

р- + М. qk + Nap, r + Na. (44.10)

Для того чтобы это уравнение имело корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства (25.2) Гурвица:

р>0, q>0, г>0, R = pq - r>0. (44.11)

Эти неравенства определяют область устойчивости. На границе этой области хотя бы одно из неравенств (44.11) обращается в равенство. Из (44.10) видно, что это возможно лищь для последнего из указанных неравенств. Таким образом, граница области устойчивости определяется уравнением

P:==jt7-г = 0. (44.12)

При выполнении этого условия уравнение (44.9) имеет, как легко видеть, пару чисто мнимых корней ± i Yq. Следовательно, чтобы выделить «опасные» и «безопасные» участки границы, необходимо



решить задачу устойчивости для системы (44.8) в критическом случае пары чисто мнимых корней.

Уравнения (44.8) представляют частный случай уравнений (42.11), рассмотренных А. И. Лурье (§ 41). Мы можем поэтому воспользоваться для определения g формулой (42.20). Так как в рассматриваемом случае

с = а, Фз = \, D(p) = p3+Жр2 + йр, Х=У. то указанная формула дает:

Зу f Мд 4(р2+9) t а

Вводя безразмерные параметры

найдем, что знак g совпадает со знаком величины L = y[K - aB(A-{-B)].

Если Z, < О, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а если Z. > О, то оно неустойчиво. Для величины R = рд-г находим:

R=M [к -о--о(Л--5)(1 + оБ)].

Фиксируя параметры к и о, рассмотрим плоскость параметров А R В. Нам достаточно при этом рассматривать только первую четверть, так как А а В могут принимать только положительные значения. Предположим, что о - к > 0. При этом условии кривая R = 0, ограничивающая область устойчивости, имеет вид, изображенный на рис. 12. Кривая L = 0 пересекает кривую R = 0 в точке W, которая и отделяет «безопасные» участки границы от «опасных». При Y > О величина L имеет отрицательные значения справа от кривой 1 = 0. Поэтому при Y > О

участок границы WU является «безопасным», а участок WV - - «опасным». При Y < О «опасная» и «безопасная» части границы меняются местами.

При о-и<0 кривая R = 0 не проходит в области положительных А я В.


Рис. 12.



ГЛАВА V.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.

А. ТЕОРЕМЫ ВТОРОГО МЕТОДА ДЛЯ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ

ДВИЖЕНИЙ.

§ 46. Некоторые определения.

Периодические движения, изучению которых посвящена настоящая глава, являются наиболее простым классом неустановившихся движений. Основным методом исследования устойчивости такого рода движений будет по-прежнему второй метод Ляпунова. Нам нужно будет поэтому изложить сначала основные теоремы второго метода Ляпунова в их общей формулировке, которую они имеют для неустановившихся движений.

Введем некоторые определения. Рассмотрим функцию V (t, х, ... ..., х„), заданную в области

t>to>0. \xjh. (45.1)

где to и h-постоянные. Мы будем предполагать, что функция V обладает в указанной области непрерывными частными производными по всем переменным и что она обращается в нуль при Xi=.. .=х„=0.

Следуя Ляпунову, будем говорить, что V допускает бесконечно малый высший предел, если для любого положительного числа % можно найти другое положительное число fx, такое, что при всех значениях t, Xj.....х„, удовлетворяющих неравенствам

t>to. \Xs\<li,

будет выполняться неравенство

\V(,t, xi, .... х„) <Х.

Другими словами, функция V допускает бесконечно малый высший предел, если она стремится к нулю при х1~0 равномерно относительно t. Так, например, функция

V = (Xi+... + x„)sinf



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0016