Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Vi = (2 + sin t) 2 xl = (- 2 + sin 0 2 x .$=1 .$=1

будут знакоопределенными, причем первая из них будет определенно-положительной, а вторая определенно-отрицательной, так как

s=l s=l

Легко дать геометрическую интерпретацию знакоопределенных функций, зависящих от t. С этой целью рассмотрим пространство переменных Х], х„ и построим систему поверхностей V(t, X], ..., х„) = с, рассматривая t как параметр. Пусть Cj - какое-нибудь достаточно малое значение с. Тогда уравнение V=Ci представит при каждом значении t замкнутую поверхность, окружающую начало координат. Придавая t все возможные для него значения, мы получим

допускает бесконечно малый высший предел, а функция K = sin[/(x,+ ...+х„)]

такого предела не допускает, несмотря на то, что она ограничена.

функция V называется знакопостоянной, если при достаточно большом и h достаточно малом она не может принимать в области (45.1) значений какого-либо определенного знака.

Таким образом, знакопостоянство для функций, зависящих от t, определяется так же, как и для функций, не зависящих от t. Несколько иначе обстоит дело с понятием знакоопределенности, а именно: функция V{t, X].....х„) называется определенно-положительной, если

она в области (45.1) при достаточно большом и Л достаточно малом удовлетворяет неравенству

V(,t. X,.....х„)>Г(х„ х„), (45.2)

где W (Xi.....х„) - не зависящая от t определенно-положительная

функция. Аналогично функция V (t, Xj.....х„) называется определенно-отрицательной, если она при тех же условиях удовлетворяет неравенству

V{t. xi.....x„)<-UJ(x,.....х„).

Таким образом, необращение в нуль в области (45.1) не является достаточным условием знакоопределенности для функций, зависящих от t, так что, например, функция

К = ,-(х2+... + х2),

несмотря на то, что она обращается в нуль только при Х] = . . .=х„=0, не является знакоопределенной, так как она при фиксированных

Xj.....х„ стремится к нулю при /-эо и, следовательно, для нее

не может выполняться неравенство (45,2). Напротив, функции



систему поверхностей, которую мы можем рассматривать как одну подвижную поверхность. Наряду с ней рассмотрим неподвижную поверхность W (xi.....х„) = с,. Допустим, что V - функция определенно-положительная. Легко видеть, что поверхность V = c, при своем движении все время остается внутри поверхности W==c,. Действительно, во всех точках, где W принимает значения с,, функция! на основании (45.2) принимает значения, большие или равные Cj, и следовательно, все эти точки лежат вне поверхности У= с, или на ней.

Если функция V, будучи знакоопределенной, допускает еще бесконечно малый высший предел, то поверхность V = при своем движении будет все время оставаться вне некоторой достаточно малой окрестности начала координат. Действительно, если бы указанная поверхность в какой-нибудь момент времени пересекала сколь угодно малую окрестность начала координат,-то это означало бы, что при указанном значении t на этой поверхности имеются точки, для которых выполняется неравенство

х,<(х. (45.3)

где 11 - сколь угодно малая положительная постоянная. Но так как V допускает бесконечно малый высший предел, то она при выполнении (45.3) и при любом значении ftg будет сколь угодно малой, если только ц достаточно мало и, следовательно, будет меньше, чем с. Это и показывает, что все точки поверхности V = Cj лежат вне области (45.3), если р, достаточно мало.

§ 46. Теоремы Ляпунова об устойчивости для неустановившихся движений.

Мы переходим теперь к изложению основных теорем второго метода Ляпунова для неустановившихся движений.

Рассмотрим дифференциальные уравнения возмущенного движения вида

- = X,{t, X,.....х„) (s==l, 2.....п). (46.1)

где функции X, определены в области

>о. х,<Я. (46.2)

Мы будем предполагать, что в указанной области функции X, являются непрерывными и удовлетворяют некоторым общим условиям, обеспечивающим существование для уравнений (46.1) единственного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Первая основная теорема Ляпунова, которую мы в дальнейшем будем называть теоремой I, может быть сформулирована следующим образом.



Теорема I. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (46.1) можно найти знакоопределенную функцию V(t, Xi, .... х„), для которой производная по времени, составленная в силу этих уравнений, т. е. выражение

dV dV dV у

есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с V, или тождественно обращается в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.

Доказательство. Допустим для определенности, что V - функция положительная. Следовательно, существует такое достаточно большое число (q и такое достаточно малое число hH, что в области

t>to. \xj<h (46.4)

выполняется неравенство

Vit Xi.....х„)>Г(х,.....х„), (46.5)

где W-некоторая не зависящая от t определенно-положительная функция. Кроме того, в этой же области выраиение (46.3) может принимать только отрицательные или равные нулю значения.

Пусть е - произвольное сколь угодно малое положительное число. Мы будем предполагать, что во всяком случае е < й. Рассмотрим

совокупность всевозможных значений величин Xj.....х„, связанных

соотношением

х = тах{х,..... х„}=е, (46.6)

и обозначим через I точный нижний предел функции W при этом условии. В силу знакоопределенности W число / положительно и отлично от нуля. В силу (46.5) имеем:

Vit, Xi.....х„)>/ при х = е. (46.7)

Будем теперь рассматривать величины х, как функции времени, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям возмущенного движения. Предположим, что начальные значения х° этих функций при

t = tQ выбраны согласно неравенствам

x°<Ti, (46.8)

где Tl настолько мало, что

В силу того, что V {tQ, 0.....0) = 0, такой выбор числа ц, очевидно, возможен. Мы будем предполагать, что число т) во всяком случае меньше е. Тогда неравенства

1х,<е. (46.10)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019