Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

выполняясь в начальный момент времени, будрт выполняться, по крайней мере, при t - tg достаточно малом, так как функции х() изменяются с течением времени непрерывно. Покажем, что эти неравенства будут выполняться при всех > о- самом деле, если бы эти неравенства когда-нибудь нарушились, то должен был бы существовать такой момент времени t - T, для которого хотя бы одно из этих неравенств перешло бы в равенство. Другими словами, мы имели бы

X (Г) = шах (1 X, (Т) I

\хЛТ)\\=

и, следовательно, на основании (46.7)

V{T, х,(Г).....х„(Г))>/.

(46.11)

С другой стороны, так как е < А, то во всем интервале времени (/„, Т) выполняются неравенства (46.4), а следовательно, во всем

V(to,x,,...,Xn)=c


Область 1x1 £

этом дает:

интервале

< 0. Это

У (Т. х(Т)..... х„(Л)<

<(V ?.....°).

что на основании (46.9) противоречит (46.11). Таким образом, неравенства (46.10) должны выполняться при всех t > t, откуда и вытекает устойчивость движения.

Доказанная теорема, так же как и в случае установившегося движения, допускает простое геометрическое истолкование. С этой целью рассмотрим в пространстве

переменных х,.....х„ область

Xj<;e (рис. 13). Выберем с настолько малым, чтобы замкнутая поверхность U(Xj.....х„) = с целиком лежала в указанной области.

Рассмотрим, далее, движущуюся поверхность V(t, х,.....х„) = с.

Как было показано в предыдущем параграфе, эта поверхность все время лежит внутри поверхности W - c, а следовательно, и подавно внутри области Xj<;e. Допустим, что точка (х,.....х„), движение которой определяется уравнениями (46.1), в какой-нибудь момент времени находилась внутри поверхности V =с. Тогда она будет все время оставаться внутри этой поверхности. Действительно, если бы она вышла наружу, то в тот момент времени, когда она пересекала бы

указанную поверхность, производная в точке пересечения была бы

Рис. 13.



положительной, что противоречит условию теоремы. Отсюда непосредственно вытекает, что всякое движение, начавшееся в области х<т1, целиком расположенной внутри поверхности V (tQ, х, ... ..., х„) = с, будет всегда оставаться 6 области е.

Переходим теперь к доказательству второй основной теоремы Ляпунова, являюшейся обобшением теоремы Б. Эту теорему мы будем в дальнейшем [шзывать теоремой II.

Теорема II. Если при выполнении условий теоремы I производная является знакоопределенной, а сама функция V

допускает бесконечно малый высший предел, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Доказательство. Допустим, что V есть функция опреде-

ленно-положительная и, следовательно, --определенно-отрицательная. Таким образом, в области (46.4) будет выполняться не только неравенство (46.5), но и неравенство

<-Г, (Xj, х„), (46.12)

где Wi-не зависящая от t определенно-положительная функция.

Будем рассматривать величины х как функции времени, удовле-творяюшие дифференциальным уравнениям возмушенного движения, предполагая, что начальные значения x° = x(/qJ этих величин удовлетворяют неравенствам (46.8). Так как невозмушенное движение во всяком случае устойчиво, то величину т) можно выбрать настолько малой, чтобы при всех / > /q величины х оставались в области (46.4). Тогда на основании (46.12) производная от функции V (t, х, (/), ...

x„(t)) будет все время отрицательной и, следовательно, эта функция с неограниченным возрастанием t будет стремиться к неко- торому пределу, оставаясь все время больше этого предела. Покажем, что этот предел равен нулю. Допустим противное, что этот предел равен некоторой положительной величине а, отличной от нуля. Тогда при всех / > будет выполняться неравенство

V(t, х,(0.....х„(/))>а. (46.13)

Так как V допускает бесконечно малый высший предел, то из этого неравенства вытекает, что

x(0 = raax{xi(0. .... 1х,Д0)>Я. (46.14)

где X - некоторое достаточно малое положительное число. Действительно, если бы такого числа X не существовало, т. е. если бы величина X (t) была меньше любого сколь угодно малого числа, то и величина V(t, xit).....x„{t)), как это следует из определения



бесконечно малого высшего предела, была бы также сколь угодно малой, что противоречит (46.13).

Но если при всех/?> 0 выполняется неравенство (46.14), то (46.12) показывает, что все время будет также выполняться неравенство

dV ,

где - отличное от нуля положительное число, являющееся точным

нижним пределом функции Wixiit).....x„(t)) при условии (46.14).

Следовательно, при всех i ig будем иметь:

y(t- г(о.....ХпЩ-у{(о .....«)+J4r<

<viio .....K)~-ii{t-io)-

что, очевидно, находится в противоречии с (46.13). Полученное противоречие показывает, что функция V(t, Xi(t), x„(t)) с неограниченным возрастанием t стремится к нулю. Следовательно, то же самое будет и для функции W(xi(t).....х„(()), откуда непосредственно следует

lim хД/) = 0 (5:= 1. 2, ..., п), что и доказывает теорему ).

§ 47. Теорема Ляпунова о неустойчивости для неустановившихся движений.

Переходим теперь к изложению третьей основной теоремы Ляпу, нова, дающей критерий неустойчивости.

Теорема III. Если существует допускающая бесконечно малый высший предел функция ]/((, х.....х„), производная которой по времени, составленная в силу уравнений возмущенного движения, есть функция знакоопределенная, а сама функция V при значениях х, сколь угодно малых, и при значениях t, сколь угодно больших, может принимать значения того же знака, что и производная, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Примем для определенности, что производная положительна. Следовательно, в области

>о>0, х,<й (47.1)

выполняется неравенство

4J>r(Xi, х„), (47.2)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014