Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [63] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

где W(Xi.....х„)-не зависящая от t определенно-положительная

функция.

Пусть ц- произвольное сколь угодно малое положительное число. Рассмотрим решение х = х(/) уравнений возмущенного движения, для которого начальные значения х = х(/д) выбраны согласно условиям

хО<т1, V(t, х°.....хО)>0.

Согласно условиям теоремы такой выбор величин х° возможен, как бы мало ни было число ц. Покажем, что рассматриваемое решение обязательно выйдет в некоторый момент времени из области (47.1).

В самом деле, допустим, что это решение все время остается в области (47.1). Тогда на основании (47.2) производная от функции V(t, Xj (/), ..., x„{t)) будет во всяком случае положительной, и мы, следовательно, имеем:

V{t, xit).....х„(/))>К(/„, х.....хО). (47.3)

Так как V допускает бесконечно малый высший предел, то из (47.3) следует:

X (t) = max {I X, (/) I.....I х„ (О } > I, (47.4)

где X - достаточно малое положительное число. Но тогда из (47.2) вытекает, что

ayit, xAt),...,xAt))i (475)

где отличное от нуля положительное число I есть точный нижний

предел функции W{Xi{t).....х„(/)) при условии (47.4).

Неравенство (47.5) дает:

y{t i(0.....х„(о) = к(/о. А.....<)+\чг*>

>К(/„, х?,...,хО)+

что невозможно, так как функция V, допуская бесконечно малый высший предел, будет во всяком случае ограниченной.

Из полученного противоречия вытекает, что решение Xs = x,{t) в некоторый момент времени обязательно покинет не зависящую от начальных значений х область (47.1), и так как эти начальные значения сколь угодно малы, то невозмущенное движение неустойчиво. Таким образом, теорема доказана.

Функции, удовлетворяющие теоремам I, II или III, мы будем, так же как и в случае установившихся движений, называть функциями Ляпунова.



>l.

где I - также некоторое положительное число, зависящее от а.

Мы можем теперь теорему Н. Г. Четаева сформулировать следующим образом.

) Четаев Н. Г., Одна теорема о неустойчивости. ДАН, т. I. № 9, 1934.

§ 48. Теорема Н. Г. Четаева.

Доказанная в предыдущем параграфе теорема III, дающая критерий неустойчивости, обладает одним принципиальным недостатком. Этот недостаток заключается в том, что функция V должна обладать определенными свойствами во всей области (47.1). В частности, во

всей этой области производная должна быть положительной,

что обозначает, что все интегральные кривые, расположенные в области (47.1), должны пересекать поверхности V=c в определенную сторону. Между тем, для того чтобы обнаружить неустойчивость движения в тех случаях, когда она действительно имеет место, достаточно обнаружить в сколь угодно малой окрестности начала координат хотя бы одну неустойчивую интегральную кривую, а для того чтобы обнаружить такого рода интегральную кривую, достаточно знать поведение интегральных кривых не во всей области (47.1), а только в некоторой ее части. В связи с этим необходимо, таким образом, обобщить теорему Ляпунова, чтобы приходилось рассматривать только некоторые части окрестности начала координат. Такого рода обобщение было дано Н. Г. Четаевым ).

Назовем областью V > О какую-нибудь область окрестности

х,<й (48.1)

начала координат пространства переменных Xj, ..., х„, ограниченную поверхностью У=0, в которой функция V принимает положительные значения.

Допустим, что функция V обладает следующими свойствами:

1) При сколь угодно больших значениях t в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область V > 0.

2) В области V > О функция V ограничена.

3) В области V > О производная , составленная в силу уравнений возмущенного движения, принимает положительные значения и при этом для всех значений t, Xj.....х,;, связанных соотношением

V{t, Xj.....х„)>а,

где а-какое-нибудь положительное число, выполняется неравенство



Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти функцию, удовлетворяющую условиям 1), 2), 3), то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Зададимся окрестностью (48.1) начала координат. Согласно условию, если h достаточно мало, то в этой окрестности имеется область V > 0. При этом в указанной области при всяком значении t имеются точки, сколь угодно близкие к началу координат.

Рассмотрим решение х, = х (t) уравнений возмущенного движения с начальными значениями x°=x(iy выбранными численно сколь угодно малыми и такими, что

(0-?.....<) = Уо>0-

Так как в области V > О производная - положительна, то функция

V(t, Xi(t), .... x„(t)) будет возрастать и, следовательно, величины X, (i) будут оставаться в области V > О, по крайней мере, до тех пор, пока не нарушаются неравенства (48.1). Покажем, что в некоторый момент времени неравенства (48.1) действительно нарушаются.

Допустим противное, что неравенства (48.1) никогда не нарушаются. Следовательно, все время выполняется условие

V (t. xi it).....х„ (О ) > П.

откуда по свойству функции V вытекает, что

dVit,xAt)...,xAt))l (48.2)

где I - некоторое отличное от нуля положительное число. Из (48.2) находим:

V{t, xi(i).....xAi))>Vo-\-l(t~(o).

что невозможно, так как в области V > О функция V ограничена.

Таким образом, в некоторый момент времени решение x{t) непременно покинет область (48.1), и так как величины х° могут быть взяты сколь угодно малыми, то невозмущенное движение неустойчиво.

Б. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ 49. Постановка задачи.

Мы переходим теперь к рассмотрению устойчивости периодических движений. Мы будем предполагать, что правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения (46.1) являются по отношению к t периодическими функциями некоторого заданного периода (о,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [63] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0074