dt ••• +/.Л+Д- 1.....(49-1)

(s= I, 2.....п),

где - непрерывные периодические функции t периода w, а функции Х в том или ином смысле малы по сравнению с линейными членами.

Так же как и в случае установившихся движений, нам предстоит разрешить три следующих вопроса:

1) установить критерии устойчивости и неустойчивости для системы линейных уравнений первого приближения;

2) установить необходимые и достаточные условия, при которых задача устойчивости для полной системы (49.1) решается первым приближением;

3) указать методы решения задачи устойчивости в критических случаях, когда рассмотрения одного лишь первого приближения недостаточно.

Мы начинаем с рассмотрения первого вопроса. Для этого нам придется изложить теорию линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Так как эта теория имеет большое значение в различных вопросах техники и физики, то мы остановимся на ней подробно.

§ 50. Характеристическое уравнение системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим систему линейных уравнений

= PslXl + • . . 4- PsnXn (5=1.2.....п), (50.1)

где - непрерывные периодические функции t периода w.

Пусть Xsj{t) - фундаментальная система решений уравнений (50.1). Здесь, как и в дальнейшем, первый индекс обозначает номер функции в каком-нибудь решении, а второй индекс - номер решения. Если мы во всех функциях xjit) какого-нибудь У-го решения заменим f на -f й), то в силу периодичности коэффициентов pj мы снова получим решение, так как функции xj (t -f ®) будут по-прежнему удовлетворять уравнениям (50.1), если им удовлетворяли функции xjit). Полученное решение не будет совпадать с первоначальным решением Xjjit), но как всякое решение уравнений (50.1) оно необходимо должно являться линейной комбинацией фундаментальной системы

Мы будем, кроме toi о, предполагать, что эти уравнения могут быть представлены в виде

D(p) =

= 0. (50.3)

«/,1 «/,2 ••• «ЛЛ-Р

Это уравнение, играющее основную роль в теории линейных уравнений с периодическими коэффициентами, называется характеристическим уравнением, соответствующим периоду со, или, короче, характеристическим уравнением.

Установим некоторые основные свойства характеристического уравнения.

1. Характеристическое уравнение не зависит от выбранной фундаментальной системы.

Выберем вместо фундаментальной системы x,j другую фундаментальную систему уу. Для нее будем иметь:

y,j (/ + ») = СуУ,, (О + С2уУ,2 (О + .. • + c,jy,„ (t). (50.4)

где cj, вообще говоря, отличны от aj. Покажем, однако, что корни характеристического уравнения, составленного из коэффициентов c,j, совпадают с корнями уравнения (50.3).

В самом деле, так как величины yj образуют фундаментальную систему, то должно быть:

у,,. (О = bijX.i (t) + b2jXs2 (О + • . . + KjXsn (О (50.5)

(s, / =1, 2.....п),

где bj - некоторые постоянные, причем определитель матрицы {b,j} отличен от нуля. Обозначим через x{t) матрицу функций x,j{t), через у (О-матрицу функций уу(0 и, соответственно, через а, Ь, с -матрицы коэффициентов a,j, bj, cj. Тогда зависимости (50.2), (50.4) и (50.5) могут быть представлены следующим образом:

х(/ + о)) = х(Оа. у (/ + ©) = у (О с, yit) = xit)b.

Далее имеем:

у (/ + со) = х (/ + и) ft = X (О aft == у (О ft" aft

и, следовательно,

c = bab.

решений x,j(t). Следовательно, имеем:

+ ») = ajxi (t) 4 a2jx,2 (/)+...+ a„jx,„ (i), (50.2)

где Uij, a2j, .... a„j-некоторые постоянные. Меняя J от 1 до п, мы получим величин a,j. Составим уравнение

1 -Р «12 ••• «1« «21 «22 - Р • • • «2«

Поэтому, если Е - единичная матрица, то характеристический определитель из коэффициентов cj может быть представлен следующим образом:

\с - рЕ\\Ь аЬ - рЕ

b-\a-pE)b , -1

рЕ\ • \Ь\=\ а - рЕ\,

что и доказывает наше предложение.

2. Характеристическое уравнение не изменится, если систему (50.1) подвергнуть неособенному линейному преобразованию с периодическими коэффициентами периода w.

В самом деле, преобразуем уравнения (50.1) при помощи подстановки

У. = 9.,(0х,+ ... +qs„(i)x„ (s=:l, 2.....п), (50.6)

где qj - непрерывные и дифференцируемые периодические функции t периода со и притом такие, что определитель Iqj] отличен от нуля при всех значениях t на отрезке [О, со].

Подставляя в (50.6) фундаментальную систему xj{t), мы получим следующую фундаментальную систему решений преобразованных уравнений:

ysj (О = qsi (О it) + (О xj (О + .. . + qn (О x„j (i), или в матричном обозначении

y(t) = q(t)x(t),

где q - матрица коэффициентов qj. Отсюда находим, что

x{t) = q-Hi)y(t), y(t-(ii) = q(t+(i>)xit + (i>) = qit)x(t)a=qit)q-Hi)yit)a = y(t)a

и, следовательно, характеристическое уравнение преобразованной системы совпадает с характеристическим уравнением исходной системы.

Допустим, что рассматриваемая фундаментальная система определяется начальными условиями

Тогда, полагая в (50.2) = 0, будем иметь:

)C,j (со) =--- aj (S, / 1, 2.....п),