Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

= 0.

(50.7)

X„i(tO) X„2(tO) ... Х„„(0>) -Р

Этим видом характеристического уравнения мы будем часто пользоваться в дальнейшем.

Воспользуемся им, в частности, для вывода важной формулы, дающей выражение свободного члена характеристического уравнения. С этой целью рассмотрим детерминант Вронского

Xxxif) Xx2(t) ... Xi„(0

Xixif) x{t) ... Х2ЛО

Д(0 =

Как известно, при любых /q и / справедливо соотношение

t п

А(/) = Д(/о)ехр Pssdt.

и s = X

Полагая в этом соотношении tQ = 0, t = a, получим:

и п

А (а) = ехр f 2] Pssdt-

о s=X

Сравнивая с (50.7), найдем, что если характеристическое уравнение представить в виде

р« + Л1р«-1+ ... 4-л„ 1р+л„ = о.

то свободный член Л„ определяется формулой

(О п

(-1)"Л„ = ехр/ p,,rf/. (50.8)

о s = l

§ 51. Аналитический вид решений в случае простых корней характеристического уравнения.

Система (50.1) не интегрируется в замкнутой форме. Можно, однако, указать общий аналитический вид ее решений.

Пользуясь каким-нибудь определением логарифмов, рассмотрим величины

o. = -s-lnp*. (61.1)

И следовательнв, характеривтическое уравнение может быть представлено в следующем виде:

ii(o>) -Р 12 (ю) ••• ЛГ1„(0>)

21 И 22 (to) - р ... Хп (to)



где - корни характеристического уравнения. Эти величины называются характеристическими показателями системы (50.1).

Покажем, что для каждого корня характеристического уравнения можно подобрать частное решение уравнений (50.1) вида

х,(0 = е"*Ч(0 (5=1.2.....«,), (51.2)

где -некоторые периодические функции времени периода со.

Это решение обладает тем свойством, что для него выполняются соотношения

x,{t + i>i) = p„x,{t). (51.3)

В самом деле, имеем:

X, ( + со) = . ( -Ь со) = р/*ф, (0.

Наоборот, если для какого-нибудь решения дг() выполняются соотношения (51.3), то это решение необходимо имеет вид (51.2). Это непосредственно следует из того, что при выполнении (51.3) функции хе~°* будут периодическими и, следовательно, функции х, будут иметь вид (51.2).

Таким образом, задача сводится к определению решения, удовлетворяющего соотношениям (51.3). Это решение, если оно существует, должно являться линейной комбинацией фундаментальной системы. Таким образом, имеем:

Xs (О = Pi.i (О + Ргй (О + • • • + KXsn (0.

где Pi.....р„ - некоторые постоянные. Подставляя (51.3), получим

2РЛ,( + со) = р,ЕРЛ; (О и, следовательно, на основании (50.2)

IhatiXst (t) = Pfe 2 PiXi (О-

Приравнивая коэффициенты при Xsi(t). получим, что постоянные Pi.....р„ удовлетворяют системе линейных однородных уравнений

flnPi+ ••• +(%-р*)Рг+ ••• -bflr„P„ = 0- (51-4)

Так как р является корнем характеристического уравнения, то система (51.4) допускает, по крайней мере, одно решение, отличное от тривиального Pj = ... =р„ = 0. Таким образом, каждому корню характеристического уравнения отвечает, по крайней мере, одно частное решение дифференциальных уравнений (50.1), имеющее вид (51.2), Корню может отвечать более чем одно решение вида (51.2). Этих решений будет, очевидно, столько» сколько независимых реше-



Рц = (О-

КИЙ имеет линейная алгебраическая система (51.4). Следовательно, этих решений будет п - р, если ранг определителя D (pJ равен р. Ранг указанного определителя может быть меньше чем п - 1 лишь только в том случае, когда корень р является кратным. Поэтому каждому простому корню характеристического уравнения отвечает одно и только одно решение вида (51.2).

Установив это, допустим сначала, что все корни характеристического уравнения являются простыми. Тогда каждому такому корню будет отвечать одно и только одно решение вида (51.2). Рассматривая все корни характеристического уравнения, мы получим п различных частных решений уравнений (50.1). Эти решения будут, очевидно, независимыми и образуют, следовательно, фундаментальную систему.

§ 62. Аналитический вид решений в случае кратных корней характеристического уравнения.

Рассмотрим теперь случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни. Допустим для определенности, что кратность корня pft равна р.. Если этот корень не обращает в нуль, по крайней мере, одного из миноров («- 1)-го порядка характеристического определителя, т. е. если ранг этого определителя равен п-1, то, как мы сейчас покажем, для этого корня может быть построено р. независимых частных решений уравнений (50.1) вида

Xsi it) = /*Р,; (t) (s = 1, 2, ..., «; /=1,2.....ll). (52.1)

Здесь P,i - полиномы относительно / с периодическими (периода со) коэффициентами. При этом степени полиномов Р, не превосходят ц-1, и степень хотя бы одного из них равна р,-1. Таким образом, можно написать:

.1 = -JW + (/-2)! (О + . -Ь Ф.. 1 (О + Ф.. (0.

где (fsj (/) - периодические функции /, причем хотя бы одна из функций не равна тождествен110 нулю.

Что же касается полиномов Pj- • • • • и> то они могут быть получены из Pj последовательным дифференцированием по / в предположении, что %j являются постоянными. Имеем:

2 (М.-2)! Ф1()+ ••• -ЬФ.

.3 = ( 3)( Ф.1 (О +- . . • + ф., Ц-2,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0104