Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Пусть

- произвольный полином с периодическими коэффициентами ф (t). Обозначим через ~ оператор, определяемый соотношением

- = т™-1ф (О + (т - 1) /™-2ф2 (04- . •. + 2/ф„ 1 (О -Ьф„ (0. Тогда решения (52.1) могут быть записаны в виде

Xsi(0 = e (5=1. 2.....«; /=1, 2.....р), (52.2)

где Р = Р. Мы будем говорить, что решения (52.2) образуют одну группу и что в рассматриваемом случае кратному корню отвечает одна группа решений.

Допустим теперь, что кратный корень р обращает в нуль все миноры характеристического определителя до порядка п - р + 1 включительно, не обращая в нуль хотя бы один из миноров («-/?)-го порядка, так что ранг характеристического определителя равен п-р. В этом случае рассматриваемому корню будет по-прежнему соответствовать р, решений, но эти решения разбиваются на р самостоятельных групп. И если мы обозначим через tij число решений в у-й группе («j-(-«2 + ... -\-Пр = 11), то решения этой группы имеют вид

x(0 = eV (/=1, 2.....s=l, 2, .... «), (52.3)

и ф - периодические функции f периода со, причем хотя бы одна из функций ф({) не обращается тождественно в нуль.

Число р не может, очевидно, превзойти кратности р рассматриваемого корня, но может этого предела достигать. В последнем случае каждая группа будет состоять из одного решения. Каждое тако- решение будет при этом иметь вид (51.2).

Все эти утверждения можно считать доказанными при р = 1.

Поэтому, чтобы доказать их в общем случае, мы можем применить метод индукции, а именно: мы допустим, что все эти утверждения справедливы, если кратность корня равна р-1, и покажем, что они остаются справедливыми, если эта кратность равна ц.

С этой целью заметим прежде всего, что корню pj соответствует по доказанному, по крайней мере, одно решение системы (50.1)



вида

(5=1, 2.....«),

(52.4)

где ф-периодические функции. Эти функции не могут одновременно обратиться в нуль ни при каких значениях t. Действительно, если бы при каком-нибудь значении t = T все функции обратились в нуль, то, принимая это значение t за начальное, мы имели бы два различных частных решения уравнений (50.1) с нулевыми начальными значениями: решение (52.4) и тривиальное решение Xj = ... = л;„ = О, что невозможно.

Перейдем теперь в уравнениях (50.1) от переменных л; к переменным у, при помощи подстановки

(52.5)

где fta - произвольные непрерывные периодические функции t периода со, подчиненные лишь условию, что подстановка (52.5) не является особенной, т. е. что определитель

Ф1 Ф2 • • Ф«

Ь\п hn Ь„„

ни при каких значениях t не обращается в нуль. В силу того, что функции ф не могут обращаться в нуль одновременно, такой выбор функций bsa может быть сделан бесчисленным множеством способов. Преобразованная система примет вид

= .1>1+-7.22+ ••• -\-qsnyn (5==1. 2, .... «), (52.6)

где qsa-периодические функции / периода со. Так как система (50.1) допускает частное решение (52.4), то преобразованная система должна допускать частное решение

... =у„ = 0.

(52.7)

Подставляя это решение в (52.6), найдем, что все коэффициенты 9-21. qz\.....Япх равны нулю, а коэффициент д-ц равен а. Следовательно, система (52.6) распадается на систему

- = .2>2+7.з>з+ •• -\-Ч,пУп (5 = 2, 3.....«), (52.8)

состоящую из и 1 уравнений, и на одно уравнение

= а.>1 + ,2>2 + • • • + ЦиУп- (52.9)



D(p) =

yi,«-i(») У2.«-1(о>) ••• У«,«-1(ю)-Р

= (p,-p)D4p) = 0, (52.11)

где D(р) - характеристический определитель системы (52.8).

Как было показано в § 50, характеристическое уравнение остается инвариантным при линейном преобразовании переменных. Поэтому уравнение (52.11) совпадает с характеристическим уравнением исходной системы (50.1). Что же касается последнего, то для него Р; является корнем р-й кратности. Следовательно, из (52.11) вытекает, что является корнем (р- 1)-й кратности характеристического уравнения системы (52.8).

Но тогда, по предположению, этому корню отвечает р-1 частных решений уравнений (52.8), распадающихся на группы вышеука-з{1нного типа. Допустим для определенности, что имеются две такого

уравнения (52.8) образуют самостоятельную систему, определяющую п - 1 функций У2, . . ., у„. После того как эти функции будут найдены, мы сумеем найти из уравнения (52.9) при помощи простой квадратуры. В частности, если мы найдем q (q <п-1) линейно независимых решений Угг (0. •••> Уи, (О (=1. 2, q) уравнений

(52.8), то функции yj; (/), Угг (О.....Упг (О- где yi определяются

формулами

yu = eVje-V(92y2;-b ••• -\-(Iinyni)dt. (52.10)

определяют q независимых решений полной системы (52.8) и (52.9). Присоединяя к ним уже известное решение (52.7), мы получим q-\-l решений этой системы, которые будут, очевидно, также независимыми.

Составим характеристическое уравнение полной системы (52.8) и (52.9). Рассмотрим с этой целью фундаментальную систему решений У2;(0. Узг(0.....У«;(0 (=1. 2.....п-1) уравнений (52.8),

определяемую начальными условиями

М (s = /+ 1),

(°> = 10 (sil).

Тогда система функций у (t), узг (О.....Уп1 (f), где yi {t) определяются формулами (52.10), вместе с решением (52.7) образуют фундаментальную систему решений системы (52.8) и (52.9) как раз того вида, который фигурирует в форме (50.7) характеристического уравнения. Поэтому характеристическое уравнение системы (52.8) и (52.9) может быть представлено в виде

Pft-P О ...О

Уи (») У21 (а) - р . .. у„1 (а)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019