Пусть

- произвольный полином с периодическими коэффициентами ф (t). Обозначим через ~ оператор, определяемый соотношением

- = т™-1ф (О + (т - 1) /™-2ф2 (04- . •. + 2/ф„ 1 (О -Ьф„ (0. Тогда решения (52.1) могут быть записаны в виде

Xsi(0 = e (5=1. 2.....«; /=1, 2.....р), (52.2)

где Р = Р. Мы будем говорить, что решения (52.2) образуют одну группу и что в рассматриваемом случае кратному корню отвечает одна группа решений.

Допустим теперь, что кратный корень р обращает в нуль все миноры характеристического определителя до порядка п - р + 1 включительно, не обращая в нуль хотя бы один из миноров («-/?)-го порядка, так что ранг характеристического определителя равен п-р. В этом случае рассматриваемому корню будет по-прежнему соответствовать р, решений, но эти решения разбиваются на р самостоятельных групп. И если мы обозначим через tij число решений в у-й группе («j-(-«2 + ... -\-Пр = 11), то решения этой группы имеют вид

x(0 = eV (/=1, 2.....s=l, 2, .... «), (52.3)

и ф - периодические функции f периода со, причем хотя бы одна из функций ф({) не обращается тождественно в нуль.

Число р не может, очевидно, превзойти кратности р рассматриваемого корня, но может этого предела достигать. В последнем случае каждая группа будет состоять из одного решения. Каждое тако- решение будет при этом иметь вид (51.2).

Все эти утверждения можно считать доказанными при р = 1.

Поэтому, чтобы доказать их в общем случае, мы можем применить метод индукции, а именно: мы допустим, что все эти утверждения справедливы, если кратность корня равна р-1, и покажем, что они остаются справедливыми, если эта кратность равна ц.

С этой целью заметим прежде всего, что корню pj соответствует по доказанному, по крайней мере, одно решение системы (50.1)

вида

(5=1, 2.....«),

(52.4)

где ф-периодические функции. Эти функции не могут одновременно обратиться в нуль ни при каких значениях t. Действительно, если бы при каком-нибудь значении t = T все функции обратились в нуль, то, принимая это значение t за начальное, мы имели бы два различных частных решения уравнений (50.1) с нулевыми начальными значениями: решение (52.4) и тривиальное решение Xj = ... = л;„ = О, что невозможно.

Перейдем теперь в уравнениях (50.1) от переменных л; к переменным у, при помощи подстановки

(52.5)

где fta - произвольные непрерывные периодические функции t периода со, подчиненные лишь условию, что подстановка (52.5) не является особенной, т. е. что определитель

Ф1 Ф2 • • Ф«

Ь\п hn Ь„„

ни при каких значениях t не обращается в нуль. В силу того, что функции ф не могут обращаться в нуль одновременно, такой выбор функций bsa может быть сделан бесчисленным множеством способов. Преобразованная система примет вид

= .1>1+-7.22+ ••• -\-qsnyn (5==1. 2, .... «), (52.6)

где qsa-периодические функции / периода со. Так как система (50.1) допускает частное решение (52.4), то преобразованная система должна допускать частное решение

... =у„ = 0.

(52.7)

Подставляя это решение в (52.6), найдем, что все коэффициенты 9-21. qz\.....Япх равны нулю, а коэффициент д-ц равен а. Следовательно, система (52.6) распадается на систему

- = .2>2+7.з>з+ •• -\-Ч,пУп (5 = 2, 3.....«), (52.8)

состоящую из и 1 уравнений, и на одно уравнение

= а.>1 + ,2>2 + • • • + ЦиУп- (52.9)

D(p) =

yi,«-i(») У2.«-1(о>) ••• У«,«-1(ю)-Р

= (p,-p)D4p) = 0, (52.11)

где D(р) - характеристический определитель системы (52.8).

Как было показано в § 50, характеристическое уравнение остается инвариантным при линейном преобразовании переменных. Поэтому уравнение (52.11) совпадает с характеристическим уравнением исходной системы (50.1). Что же касается последнего, то для него Р; является корнем р-й кратности. Следовательно, из (52.11) вытекает, что является корнем (р- 1)-й кратности характеристического уравнения системы (52.8).

Но тогда, по предположению, этому корню отвечает р-1 частных решений уравнений (52.8), распадающихся на группы вышеука-з{1нного типа. Допустим для определенности, что имеются две такого

уравнения (52.8) образуют самостоятельную систему, определяющую п - 1 функций У2, . . ., у„. После того как эти функции будут найдены, мы сумеем найти из уравнения (52.9) при помощи простой квадратуры. В частности, если мы найдем q (q <п-1) линейно независимых решений Угг (0. •••> Уи, (О (=1. 2, q) уравнений

(52.8), то функции yj; (/), Угг (О.....Упг (О- где yi определяются

формулами

yu = eVje-V(92y2;-b ••• -\-(Iinyni)dt. (52.10)

определяют q независимых решений полной системы (52.8) и (52.9). Присоединяя к ним уже известное решение (52.7), мы получим q-\-l решений этой системы, которые будут, очевидно, также независимыми.

Составим характеристическое уравнение полной системы (52.8) и (52.9). Рассмотрим с этой целью фундаментальную систему решений У2;(0. Узг(0.....У«;(0 (=1. 2.....п-1) уравнений (52.8),

определяемую начальными условиями

М (s = /+ 1),

(°> = 10 (sil).

Тогда система функций у (t), узг (О.....Уп1 (f), где yi {t) определяются формулами (52.10), вместе с решением (52.7) образуют фундаментальную систему решений системы (52.8) и (52.9) как раз того вида, который фигурирует в форме (50.7) характеристического уравнения. Поэтому характеристическое уравнение системы (52.8) и (52.9) может быть представлено в виде

Pft-P О ...О

Уи (») У21 (а) - р . .. у„1 (а)