Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

рода группы. Все наши рассуждения останутся, однако, справедливыми при любом числе групп. Пусть первая группа состоит из / решений

. 0. (52.12)

Da-i \(/ -1)!

{s = 2.....п; а= 1, 2,

а вторая группа из т решений

(5 = 2, л; р=1, 2, .

Здесь u,j, v,j-периодические функции t и /+/к = р,- 1. Как было указано выше, функции (52.12) и (52.13) вместе с функциями

is. m~l + sm) (52.13)

yia = J е-Ч (912У2а + • • • + ЯыУпсд dt, о

У\, - / М+ • • + Я,Х,) dt

(52.14)

(а=1, 2...../; р=:1, 2.....т)

образуют систему р,- 1 независимых решений уравнений (52.8) и (52.9).

На основании (52.12) и (52.13) подинтегральные выражения в функциях (52.14) не содержат показательных функций, и мы можем написать:

а-1) / к

- [jprif «1 + • • + tUi , + Ui] dt,

Dt t

(a=l, 2...../; p=:l, 2.....m).

(52.15)

где Uj, Vj - периодические функции периода со.

Пусть ф(/) - произвольная непрерывная периодическая функция с периодом со. Как мы уже знаем, справедливо соотношение

J Ф(0/ = / + Ф(/),



где - некоторая периодическая функция, а g есть постоянная, определяемая соотношением

Ф (О df

(52.16)

и представляюшая собой среднее значение функции ф за период. Интегрируя по частям, легко находим:

откуда вытекает, что если P{f) - полином р-й степени с периодическими коэффициентами

/(0 = -Ф(0+-(Ф2(0

-фр(0.

то квадратура or него будет полиномом (/?-{-1)-й степени вида t

Q(0- J (0 = -(f4 + -f-2+ • • • + Vi (52-17)

где ijjj, - некоторые периодические функции, а g - посто-

янная, определяемая формулой (52.16), т. е. среднее значение коэффициента при старшей степени полинома Р {f). Докажем, что имеет место тождество t t

P{t)dt -

DP Dt

dt = A,

(52.18)

где a - некоторая постоянная. В самом деле, дифференцируя левую часть (52.18) по времени и принимая во внимание, что операторы d d

lit " "dW в" переместимы, будем иметь:

d D dt I Dt

Г DP \ D d С Di

Pmt~ J -DF-dt\=-\- J Pit)dt}-

0 / \ 0 )

откуда и вытекает справедливость (52.18).

Принимая во внимание (52.17) и (52.18), находим, что выражения (52.15) могут быть представлены в виде

-- oO., -

,0-1

о-ч-(У(о) + лл,

="- (о* 5-+* ())+

1.2,,. ., /; р=: 1, 2, .... т),



где А, А* - постоянные, О и О* формулами

0 = -!

«1 (О dt.

01= = -

Vi (t) dt,

а и \i и* суть полиномы с периодическими коэффициентами, причем степень первого не превосходит /-1, а степень второго не превосходит /и - 1. Но так как

то мы можем написать:

£)(а-1) , Л г)(Р-1) / fm

(а= 1, 2...../; р= 1, 2..... /и).

(52.19)

где и и i/* - также полиномы с периодическими коэффициентами, степени которых не превосходят, соответственно, /-1 и т.- 1.

Подставляя (52.12), (52.13) и (52.19) в (52.5), мы получим для системы (50.1) I решений вида

и т. реше1шй вида

0<fsTr + sit)) (а=1. 2.....О (52.20)

, г)((5-1) / т * \

X = е

где -(0 и Xs{t) - некоторые полиномы с периодическими коэффициентами, степени которых не превосходят, соответственно, I - 1 и /и-1. Вместе с решением (52.4) мы получаем, таким образом, для рассматриваемого корня l4-m-\-\==\i независимых решений системы (50.1).

Допустим сначала, что обе величины G п G* отличны от нуля. Допустим также для определенности, что Тогда, если мы

к решениям (52.20) присоединим решение (52.4), умножив его предварительно на О, то получим решений, составляющих группу.

также постоянные, определяемые



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018