Действительно, очевидно, имеем:

а следовательно, решение (52.4), умноженное на О, принадлежит группе (52.20) и соответствует а = /--1. Что же касается решений (52.21), то, комбинируя их с /и последними решениями (52.20), мы получим т новых решений:

Xs = Gxs, - Ох,р = еЧ [о* X, - GXsj

(Р==1. 2.....т).

также образующих группу. В самом деле, степень хотя бы одного из полиномов, заключенных в скобках, в выражении для дгр равна т-1, ибо, если бы все указанные полиномы имели меньшие степени, то во всяком случае имели бы место тождества

= G*x,i - Gx*sm 0 (s = 1, 2.....и)

и, следовательно, не все решения (52.20) и (52.21) были бы независимыми, что противоречит условию.

Таким образом, в рассматриваемом случае наше утверждение о виде решений, отвечающих кратному корню характеристического уравнения, справедливо.

Допустим теперь, что 0 = 0, но О* отлично от нуля. В этом случае степень хотя бы одного из полиномов Xit) равна /-1, так как в противном случае все функции Xgi равнялись бы нулю и, следовательно, в (52.20) содержалось бы меньше чем / решений. Поэтому уравнения (52.20) образуют группу нужного нам вида. Присоединяя решение (52.4), умноженное предварительно на О*, к решениям (52.21), мы получим еще одну группу. Следовательно, так же как и в предыдущем случае, мы будем иметь р решений, разбивающихся на две группы. Если, наконец. О* также равно нулю, то решения (52.21) также образуют группу, и решение (52.4) следует рассматривать как отдельную третью группу, состоящую из одного решения.

Таким образом, во всех случаях наши утверждения об аналитическом виде решений системы (50.1) можно считать доказанными.

Нам остается еще только показать, что число групп решений, отвечающих кратному корню, в точности равно р, где п - р - ранг характеристического определителя для рассматриваемого корня. Это утверждение легко доказать следующим образом.

Число групп решений, отвечающих рассматриваемому кратному корню, равно, очевидно, числу независимых решений вида (52.4) (так как в каждой группе имеется по одному такому решению),

5(a-I)p(2)

(53.1)

= -(Г=1)Г f 1 + -(Г=-2)Г (О + • • • + %s it)

= (Sj! + (S)I (О + • • • +1™. (О

и .... <fis, i,, •••.Фпи - периодические функции периода fi). Нам нужно показать, что величина является корнем характеристического уравнения, кратность которого не менее l~\-tn, и что этот корень обращает в нуль, по крайней мере, все миноры (я-1)-го порядка характеристического уравнения.

С этой целью возьмем для составления характеристического уравнения такую фундаментальную систему решений ху (/) уравнений (50.1), которая содержит все решения (53.1). Мы предположим при этом, что решения (53.1) являются первыми l-\-tn решениями рассматриваемой фундаментальной системы и примем следующий порядок нумерации:

s, Ш = Ч t+2 = i? m-1.....s. = X?V

Тогда, принимая во внимание, что для всякого полинома

P(.t) = Mt) + -~\Mt)----Mt)

которыми этот корень обладает, а это число, как мы видели в предыдущем параграфе, равно числу независимых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (51.4), т. е. я - р. Таким образом, все наши утверждения полностью доказаны.

§ 53. Обратное предложение.

Справедливо также обратное предложение. Если для системы (50.1) удалось найти р. частных решений, разбивающихся на р групп вида (52.3), то величина р является корнем характеристического уравнения, кратность которого не менее р, причем этот корень обращает в нуль все миноры характеристического определителя до порядка, по крайней мере, я - jf+l-

Допустим для определенности, что имеются две такого рода группы, состоящие, соответственно, из / и /м решений. Все наши рассуждения останутся, однако, справедливыми при любом числе групп. Пусть эти решения будут

устойчивость периодических Движений

(гл. V

с периодическими периода со коэффициентами fi справедливо очевидное соотношение

РЦ+щ = /, (0+ ... (О =

о,,, , DP , (й D4

Dt 21 D/2 а также, что на основании (51.1)

легко находим:

+ ••• +

Dip q\ Dtt •

.г + fi>) == P*-(TZTTjT + P* (ГГ2)1-rt + Xs.t+2 (+ a) = Р*«л:,, (0 + pjkX,, i+jit).

PiX,iit).

Xs. l+mit + ») = Pft X,. j+i (0 +

цт-2

P (w-2)! +2W+ ••• +PkXs,l+m(t)-

Сравнивая с (50.2), получим:

«n = Pft. «21 = 31= ••• =a„i = 0,

«12 = PfeO). «22 = Pft> Йз2== . . . =«„2 = 0,

an = Pft.

Л/J. О. /-Li -

вг+2. l+m Pft (m -2)1- P*

= 0 2...../, /-f m + 1.....n).

(53.2)