Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [69] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

D(p) =

Pft» Pft - Р

Рк (/1ГТ)1 Р* (7Z5)! • • • ~ Р

Р* -Р

р,(0

Р* Р* (т 2)! ••• Pft-Р

«;+m + l, л пи 1 Р • . • т+и п

... а.

= (Pft-p/(p*-p)"

l+m+l, l+m + l

l + m + U п

-=0.

Отсюда непосредственно вытекает, что величина р является корнем характеристического уравнения с кратностью, не меньшей 1~\-т. Кроме того, как это видно из (53.2), все элементы 1-й и (/-j-Ой колонок характеристического уравнения обращаются в нуль при р = р. Следовательно, корень р обращает в нуль, по крайней мере, все миноры (я - 1)-го порядка характеристического уравнения.

Таким образом, предложение полностью доказано.

§ 54. Теорема Ляпунова о приводимости линейных уравнений с периодическими коэффициентами.

А. М. Ляпунов показал, что всякую систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно преобразовать при помощи линейной подстановки с периодическими коэффициентами в систему уравнений с постоянными коэффициентами.

Для выполнения этого преобразования рассмотрим систему линейных уравнений

РиУ1 + Р2,У2 + • • • + = О 5=1,2.....я), (54.1)

Следобательно, xapaKTeprfCfHqecKoe уравнение (50.3) имеет вид



(5=1, 2, .. ., п; р=1, 2.....т).

(54.3)

где ((ifjit) - периодические функции t периода (о. Мы придерживаемся при этом следующей системы обозначения решений: верхний индекс в yfj обозначает номер группы (номер корня), к которой принадлежит решение, а второй нижний индекс - номер решения в группе. Положим

yf = \fX + ф(Р.)Х2 + . . . + (pPJX

(Pl. 2.....m; У=1, 2, п). (54.4)

) Обращаем внимание читателя, что в отличие от предыдущих параграфов через pj обозначены корни характеристического уравнения системы (54.1), а ие системы (50.1).

сопряженную с системой (50.1). Если у,(О - какое-нибудь решение системы (54.1), то линейная форма

У1 (О 1 + У2 (О 2 + • • • + Уп (О « (54.2)

переменных определяет, как известно, первый интеграл уравнений (50.1). Подставляя в эту форму вместо у,(0 какие-нибудь п независимых частных решений уравнений (54.1), мы получим п независимых первых интегралов системы (50.1).

Пусть Pi, Р2.....р-корни характеристического уравнения системы (54.1)1) „ -соответствующие характеристические показатели. При этом каждый кратный корень мы выписываем столько раз, сколько групп решений ему соответствует. Таким образом, среди чисел р могут быть и равные, но каждому из них соответствует только одна группа решений.

Обозначим через Пр число решений в группе, отвечающей корню р,. При этом, очевидно,

«1 + «2+ ••• +«т = «-

Тогда, как было показано в § 52, система (54.1) имеет п независимых решений следующего вида:

у = .Уф<(0.

yif = .V (4f(0 + 9lf(0),



Тогда, подставляя решения (54.3) в (54.2), мы получим следующие я пертых интегралов уравнений (50.1):

е%у[Р= const. eV (/y<4yf)= const..

n -I

n -2

t "

(/=1. 2.....m).

= const.

(54.5)

Соотношения (54.4) определяют линейную подстановку с период! -ческими коэффициентами, которая ни при каких значениях t не является особенной. В самом деле, определитель, составленный из я фун! -ций (54.3), отличен от нуля, так как эти функции образуют фундаментальную систему решений линейных уравнений. Но этот определитель, как легко видеть, отличается никогда fie обращающимся в нуль множителем

e(i«i+2°2+ •• +Vp)

от определителя подстановки (54.4), и следовательно, подстановка (54.4) не является особенной ни при каких значениях (.

Установив это, преобразуем систему (50.1) при помощи подстановки (54.4). Учтем, что выражения (54.5) являются первыми интегралами системы (50.1). Дифференцируя эти интегралы по / и приравнивая производные нулю, легко получим следующие дифференциальные уравнения:

= -а ytP),

-~ = - a„y(p> - yW

iP=l, 2,

(54.6)

Это и будут преобразованные уравнения, обладающие постоянными коэффициентами. Таким образом, при помощи неособенной линейной подстановки с периодическими коэффициентами (54.4) система уравнений (50.1) преобразована в систему уравнений с постоянными коэффициентами.

Полученная система (54.6) будет иметь комплексные коэффициенты, так как величины будут, вообще говоря, комплексными.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [69] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019