Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 7]

ПРИЗНАКИ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ И ЗНАКОПЕРЕМЕННОСТИ 29

В частных случаях, с которыми нам придется иметь дело в дальнейшем, эта задача легко разрешается при помощи некоторых простых критериев, которые мы здесь приводим.

Допустим сначала, что V (Xi.....х„) представляет однородную

форму т-го порядка. Так как при произвольном X выполняется тождество

V(Xx,.....lx,,) = l"V(x,.....xJ,

то совершенно очевидно, что если форма V является знакоопреде-ленной, то знакоопределенность будет иметь место во всем пространстве, а не только вблизи начала координат. То же самое будет справедливо и относительно знакопеременности. При этом очевидно, что знакоопределенность может иметь место только при т четном. Следовательно, имеет место следующее предложение.

Лемма 1. Любая форма нечетного порядка есть функция знакопеременная.

Если т есть число четное, то форма V может быть как знако-определенной, так и знакопеременной. Вопрос о том, какой из этих случаев действительно имеет место, является очень сложным для форм порядка выше второго, если число независимых переменных больше двух. Для форм же второго порядка (при любом числе независимых переменных) эта задача разрешается чрезвычайно просто следующим образом.

Пусть

2V= S СарХаХр (7.1)

а, 3=1

- квадратичная форма. Тогда, как известно, существует бесчисленное множество линейных подстановок

= ••• +«.„„ (5=1, 2.....я) (7.2)

с отличным от нуля определителем, которые преобразуют форму V к виду

l = V?+Vi+ •• +У„- (7.3)

Если все коэффициенты отличны от нуля и одинакового знака, то форма V будет знакоопределенной. Действительно, в этом случае форма V может обратиться в нуль только при yi= ... = у„ = О, что возможно только при Х = ... =х„ = 0, так как определитель подстановки (7.2) отличен от нуля. Если часть коэффициентов 1 равна нулю, а остальные имеют одинаковые знаки, то форма V будет, очевидно, знакопостоянной. Если же среди коэффициентов имеются как положительные, так и отрицательные, то форма V будет знакопеременной.

Число отличных от нуля коэффициентов Х, а также число перемен знаков в ряду этих величин не зависит от выбора подстановки (7.2),



сц, 1-12 Ci2, С22

П- 12.....

12 22.....С2л

1л 2п.....пп

были положительны.

Допустим снова, что V {х.....х„) есть форма произвольного

/ге-го порядка. Рассмотрим произвольную функцию W{х, х„), обращающуюся в нуль при х = ... =х„ = 0 и удовлетворяющую в области (6.3) неравенству

\{х,.....х„)\<А{\х,1-{- ... +х„1Г. (7.4)

где А - некоторая постоянная. Имеет место следующее важное предложение.

Лемма 2. Если V - знакоопределенная форма т-го порядка, то функция

U(x,.....x) = V{x„ .... x„)-\-W(x,. х„) (7.5)

будет также знакоопределенной того же знака при любом выборе функции W(х, .. ., х„), удовлетворяющей в области (6.3) неравенству (7.4), где А-достаточно малое положительное число, зависящее исключительно от коэффициентов формы V. Если V есть форма знакопеременная, то при тех же условиях функция и будет также знакопеременной. Доказательство. Полагая

s = s 9~Vx\-\- ... Л-

а?+...+а2 = 1. (7.6)

будем иметь:

U(x, .... x„) = 9"V{a,.....а„)+Г(ра,. .... ра„).

Допустим сначала, что V есть форма знакоопределенная, например определенно-положительная. Считая р настолько малым, что величины х лежат в области (6.3), можем на основании (7.4) и (7.6) писать:

irCoai.....pa„)<p"{aj+ ... + 1 а„ Г < Лр. (7.7)

Само приведение формы к виду (7.3) производится совершенно элементарными приемами, на которых мы здесь не останавливаемся.

Знакоопределенность или знакопеременность квадратичной формы можно также установить и не прибегая к вышеуказанному линейному преобразованию. Имеет место следующая теорема Сильвестра, которую мы здесь приводим без доказательства.

Теорема Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма (7.1) была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее дискриминанта, т. е. величины



Пусть / - НИЖНЯЯ граница величины V(ai.....а„), так что

V{a,.....а„)>/. (7.8)

Число I будет обязательно положительным, так как определенно-положительная форма l/(ai.....а„) может принимать на сфере (7.6)

только положительные значения. Из (7.7) и (7.8) вытекает, что если

число А меньше величины -, зависящей исключительно от формы V,

то во всех точках области (6.3), кроме начала координат, функция U будет принимать только положительные значения, что и доказывает первую часть леммы.

Допустим теперь, что V - форма знакопеременная. Тогда на сфере (7.6) она может принимать как полож1гтельные, так и отрицательные значения. Допустим, что V(a,..... а=а > О,

а Via" .. ., а") = - < 0. Тогда, считая, что Л < -г и Л < ---,

будем иметь, что при = а. функция U будет положительной, а при а = а функция U будет отрицательной, и это будет справедливо, как бы мало ни было р. Следовательно, функция U является знакопеременной.

Таким образом, лемма полностью доказана.

Лемма 3. Знакоопределенность или знакопеременность формы сохраняется, если к ней добавить любую форму того же порядка с достаточно малыми коэффициентами.

Справедливость этой леммы непосредственно вытекает из того обстоятельства, что всякая форма т-го порядка необходимо удовлетворяет неравенству (7.4), причем коэффициент А будет сколь угодно мал, если коэффициенты формы достаточно малы.

Пусть теперь V{х, .... х„) обозначает произвольную функцию, разлагающуюся в ряд по степеням .....х„ в некоторой окрестности начала координат. Допустим, что это разложение начинается членами некоторого произвольного порядка т, так что мы можем писать:

V (х„ ..., x„) = V„ (х,, .... х„) + 1* (X,.....х„), (7.9)

где V„ - форма т-го порядка, а V* (х,..... х„) - совокупность

членов более высоких порядков. Очевидно, что функцию V* (х,.....х„)

можно рассматривать, и притом бесчисленным множеством способов, как форму т-го порядка, коэффициенты которой являются функциями от Х[, .. ., х„, обращающимися в нуль при х, = ... = х„ = 0. Следовательно, если величина А, определяющая область (6.3), достаточно мала, то указанные коэффициенты будут сколь угодно малыми. Поэтому на основании предыдущего справедлива также следующая лемма.



0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0056