Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [70] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

di/p ~1Г

= Xuf~p~up y,

==Xvp + vf-vp

(54.7)

(7=2.....я,).

Допустим теперь, что р,- является отрицательным вещественным числом. В этом случае, взяв арифметическое значение логарифма, мы можем писать:

а, = 1 .п (-Р,) + Si+i2ii3. = + i2£+i.

где q-целое число и величина %i вещественна. Решения (54.3), отвечающие корню р, будут получаться комплексными. Но так как коэффициенты уравнений (54.1) вещественны, то вещественные части 8ТИХ решений будут также являться решениями. Следовательно,

Поэтому, если мы желаем иметь дело только с вещественными уравнениями, то необходимы будут дальнейшие преобразования. Покажем, как это сделать.

Величина а, будет комплексной либо тогда, когда соответствующий корень Рр характеристического уравнения является комплексным, либо когда этот корень является вещественным, но отрицательным.

Рассмотрим сначала первый случай. Допустим, что корень р является комплексным. Так как коэффициенты уравнений (50.1) вещественны, то все комплексные корни характеристического уравнения и все комплексные решения системы (54.1) распадаются на пары сопряженных. Пусть Pj комплексно сопряжен с р. Тогда решения системы (54.1), отвечающие корню pj, т. е. функции y(j, будут комплексно сопряженными с решениями y(j и, следовательно, tii - tif и переменные у будут комплексно сопряжены с переменными уФ. Пусть

yij) = af + "f yf = «У* - V"9

(7=1. 2.....n).

и примем up и vp в качестве новых переменных вместо ур и ур. Тогда, выделяя в /-й и l-t\ группах уравнений (54.6) вещественные и мнимые части, мы получим вместо двух указанных групп, состоящих из n-i = n-i уравнений каждая и обладающих комплексными коэффициентами, одну группу, состоящую из 2«г уравнений с вещественными коэффициентами следующего вида:

dv{>



. = Re{(cosiHi±l)ili+ysini (54.8)

и мы получаем для этого корня дифференциальные уравнения с вещественными коэффициентами:

dt dzf

(54.9)

(7 = 2.....«;).

Здесь переменные zp отличаются от переменных у", определяемых формулами (54.4), только тем, что функции ф( заменены функциями .

Таким образом, можно считать доказанным, что систему уравнений (50.1) при помощи вещественной неособенной линейной подстановки можно привести к системе уравнений с постоянными коэффициентами. При этом, если характеристическое уравнение системы (54.1) не имеет вещественных отрицательных корней, то коэффициенты подстановки будут периодическими функциями периода fi). Если же указанное характеристическое уравнение имеет вещественные отрицательные корни, то коэффициенты подстановки будут также периодическими функциями, но период этих функций будет, вообще, равен 2fi). Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что период функции (54.8) будет, вообще говоря, 2fi), так как этим периодом обладает множитель

--4- I/ - 1 Sin 11/7-4- I )

cos(29+l)+f 1 sin (29+1)4

Пусть предложена система линейных уравнений

(s= 1, 2.....п), (54.10)

где qj - какие-нибудь непрерывные ограниченные функции t при всех t tg. Допустим, что эта система может быть преобразована

корню р; оМечают решения



УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

[гл. V

в систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи линейного преобразования

У5=Л11+ ••• + Ла.

обладающего тем свойством, что его коэффициенты Д, так же как и коэффициенты обратного преобразования, являются непрерывными и ограниченными функциями t при всех itg. В этом случае систему (54.10) А. М. Ляпунов предложил называть приводимой. Таким образом, любая линейная система уравнений с непрерывными периодическими коэффициентами является приводимой ).

§ 55. Определяющее уравнение приведенной системы. Теорема Ляпунова о корнях характеристических уравнений сопряженных систем.

Рассмотрим какую-нибудь систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

=«.1У.+ --- + «.Л (5==1, 2.....«)

Составим ее характеристическое уравнение:

(55.1)

«11-

• «1„

«21

• «2«

= 0.

(55.2)

«Л1

««2

• а„„-Х

Но система уравнений (55.1) может быть рассматриваема как частный случай системы уравнений с периодическими коэффициентами произвольного периода «, и, следовательно, для нее может быть построено характеристическое уравнение в смысле § 50. Это уравнение будет отличаться от уравнения (55.2). Поэтому во избежание путаницы мы будем в дальнейшем, где эта путаница возможна, называть уравнение (55.2) определяющим уравнением.

В предыдущем параграфе мы показали, что систему уравнений с периодическими коэффициентами (50.1) можно неособенной линейной подстановкой с периодическими коэффициентами преобразовать в систему уравнений с постоянными коэффициентами (54.6). Так как при таком преобразовании корни характеристического уравнения не изменяются, то корни характеристического уравнения системы (50.1) совпадают с корнями ха ракте ристического уравнения системы (54.6). Найдем корни этого последнего уравнения.

) Подробное исследование приводимых систем содержится в работе: Е р у г и н Н. П., Приводимые системы. Труды матем. ин-та им. В. А. Сте-клова, т. XIII, 1946.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [70] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018