Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [71] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

(«-1)1 •

(k=\. 2...../7-1, jo-f 1.....m\

a остальные решения этой группы могут быть получены из первого

последовательным применением оператора к коэффициентам

прие~"р. Так. например, второе решение указанной группы имеет вид

I *\п -2

V {Пр-2)1 ()=4)=...=(f)2 = 0

(&=1> 2...../7-1. /7+1. .... т).

Всего решений в р-й группе будет п. Таким образом, для каждой величины - йр получается группа с Пр решениями. При этом среди величин -щ, .... -а„ могут быть и одинаковые, так как по условию каждая из величин а, выписывается столько раз, сколько групп решений соответствует корню Р/, характеристического уравнения системы (54.1).

Полученные решения системы (54.6) будут как раз такими, какие фигурируют в предложении, установленном в § 53. Поэтому на основании этого предложения мы можем утверждать, что величины -а, являются характеристическими показателями и, следовательно, величины ---корнями характеристического уравнения системы (54.6) и

эквивалентной ей системы (50.1). Кроме того, из предложения § 53 вытекает также, что корень -~ характеристического уравнения системы (50.1) имеет такую же кратность, как и корень р характеристического уравнения системы (54.1), и что этим корням в обеих системах отвечает одинаковое число групп с одинаковым числом

С ЭТОЙ целью заметим, что уравнения (54.6) допускают, очевидно, фундаментальную систему решений, распадающихся на т групп, таких, что первое решение в какой-нибудь р-й группе имеет вид



решений в каждой группе. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме, установленной А. М. Ляпуновым.

Теорема. Еслир - корень характеристического у равнения системы линейны к у равнений с периодическими коэффициентами,

то величина - будет корнем характеристического уравнения

сопряженной системы. При этом кратности обоих корней, числа групп решений, им соответствующие, и числа решений в соответствующих группах одинаковы.

Рассмотрим теперь определяющее уравнение системы (54.6). Оно. очевидно, имеет вид

Мр =

- о,

.. .0

X ...о

Отсюда непосредственно убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Т еорема.Яра преоб разовании системы линейных у равнений с периодическими коэффициентами в систему уравнений с постоянными коэффициента.чи корни определяющего уравнения преобразованной системы являются характеристическими показателями исходной системы.

§ 56. Критерии устойчивости.

Переходим теперь к вопросу об устойчивости решений линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Из общего вида этих решений, установленного в § 52, вытекает сразу, что если вещественные части всех характеристических показателей отрицательны, то все решения стремятся к нулю при -> со и, следовательно, имеет место асимптотическая устойчивость. Напротив, если вещественная часть хотя бы одного характеристического показателя положительна, то система имеет частные решения, неограниченно возрастающие при ->оо и, следова-



тельно, будет иметь место неустойчивость. Если же вещественные части некоторых характеристических показателей отрицательны, а остальных равны нулю, то может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость, а именно: если характеристические показатели с вещественными частями, равными нулю, являются простыми, то соответствующие им рещения будут ограниченными и невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически. То же самое будет справедливо и в случае кратных характеристических показателей с нулевыми вещественными частями, если число групп решений, соответствующих таким показателям, равно их кратности. Но если имеется характеристический показатель с нулевой вещественной частью, кратность которого превышает число групп решений, ему соответствующих, то рассматриваемая система будет иметь решения, содержащие вековые члены. При этом вековыми членами мы называем члены вида t(f(t), где ф(0-ограниченные функции времени. В рассматриваемом случае невозмушенное движение будет неустойчиво.

Но на основании (51.1) характеристическому показателю с отрицательной вещественной частью соответствует корень характеристического уравнения с модулем, меньшим единицы, характеристическому показателю с положительной вещественной частью соответствует корень с модулем, большим единицы, и характеристическому показателю с нулевой вещественной частью отвечает корень с модулем, равным единице. Поэтому условия устойчивости для линейных уравнений с периодическими коэффициентами могут быть выражены следующим образом: если все корни характеристического уравнения имеют модули, меньшие единицы, то невозмушенное движение устойчиво асимптотически; если имеется хоть один корень с модулем, большим единицы, то невозмущенное движение неустойчиво; если модули некоторых корней меньше единицы, а остальные равны единице, то невозмущенное движение может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Устойчивость будет иметь место тогда, когда все корни с модулями, равными единице, будут простыми или когда они являются кратными, но кратность их равна числу отвечающих им групп решений. Если кратность хотя бы одного из корней с модулем, равным единице, превышает число соответствующих ему групп решений, то невозмущенное движение неустойчиво.

Пусть

р"+Л1р"-1+...+Л„ ,р+Л„ = 0 (56.1)

- характеристическое уравнение рассматриваемой системы. Мы выразили условия устойчивости через корни этого уравнения. Можно, однако, выразить эти условия непосредственно через коэффициенты Л. С этой целью произведем в уравнении (56.1) подстановку

Р = -ЙГ (56.2)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [71] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018