Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dt ду. dt дх

(i= 1, 2, . . ., п).

(57.1)

где Я(1, Ху. .... х„, у,, . . ., у„) - квадратичная форма переменных Xj.....х„, уу, ... .• у„, коэффициенты которой являются непрерыв-

Эта подстановка преобразует круг единичного радиуса с центром в начале координат плоскости комплексного переменного р в левую полуплоскость комплексного переменного X. Поэтому условия устойчивости, выражающиеся в том, что модули всех корней уравнения (56.1) не должны превосходить единицы, могут быть выражены следующим образом: для устойчивости необходимо, чтобы вещественные части всех корней уравнения

не были положительными. При этом, если эти вещественные части все отрицательны, то устойчивость действительно будет иметь место и притом асимптотическая.

Таким образом, задача, так же как и для случая уравнений с постоянными коэффициентами, сводится к установлению условий отрицательности вещественных частей всех корней алгебраического уравнения. Эти условия даются теоремой Гурвица.

В отличие, однако,. от случая уравнений с постоянными коэффициентами рассматриваемая сейчас задача значительно усложняется тем, что коэффициенты Aj, кроме коэффициента Л„, который дается формулой (50.8), неизвестны. Для их определения необходимо знать какую-нибудь фундаментальную систему решений исследуемых дифференциальных решений. Но как показывает форма (50.7) характеристического уравнения, нет необходимости знать эту фундаментальную систему для всех значений t, а лишь только для одного значения t = (i>. Кроме того, условия устойчивости определяются неравенствами, и поэтому достаточно знать лишь приближенные значения коэффициентов характеристического уравнения. Все это позволяет для определения указанных коэффициентов с успехом пользоваться различными приближенными приемами интегрирования. В нижеследующих параграфах мы подробно останавливаемся на некоторых основных приемах приближенного вычисления корней характеристического уравнения.

§ 57. Характеристическое уравнение канонических систем.

В некоторых случаях по самому виду дифференциальных уравнений можно сделать некоторые заключения о корнях характеристического уравнения. Одним из важнейших случаев такого рода будет тот, когда рассматриваемая система уравнений имеет канонический вид

dx. дН dy. дН



ными периодическими функциями t периода (О. Более подробно эта система может быть записана следующим образом:

a=l 0=1

2j dXi dx 2u dx dy„ Уа-

0 = 1

(57.10

Имеет место следующая теорема Ляпунова.

Теорема. Пусть р - корень характеристического уравнения системы (57.1). Тогда если р=± 1. то кратность этого корня будет обязательно четная. Если рт + 1 и этот корень имеет кратность т и ему отвечает р групп решений, то

величина - будет также корнем характеристического уравнения и этот корень будет иметь ту же кратность т и ему будет отвечать то же число р групп решений.

Доказательство. Рассмотрим линейную систему, сопряженную с (57.1). Эта система имеет вид

duj Y dt ~ Li

dvi

Va.

Ssm , Y

0 = 1

(57.2)

Пусть p-какой-нибудь корень т-й кратности характеристического уравнения системы (57.1). Допустим сначала, что р=5±1. На основании теоремы о корнях характеристических уравнений сопряженных систем (§ 55) величина будет корнем т-Л кратности

характеристического уравнения системы (57.2). Следовательно, эта система имеет т независимых решений вида

Uy = e-<Uij(t), v = e-<tV,j(t) (a=i-lnp), (У=1, 2.....т),

распадающихся на некоторое число групп известного вида. Здесь Vjj - некоторые полиномы относительно t с периодическими коэффициентами.

Но система (57.2), как это сразу видно из ее структуры, переходит в систему (57.1), если величины заменить величинами у,-, а величины - величинами - л;. Следовательно, если иД/) "ДО являются решением системы (57.2), то функции Xi = - •Vi(t).



ехр J 2 Pss dt.

о 5 = 1

Но в рассматриваемом случае

Pss 2j [ ду. дх. дх. ду. 1 ~

и, следовательно, произведение всех корней характеристического уравнения равно 1. Но так как произведение всех корней, отличных от ±1, по доказанному равно 1, то и произведение корней, равных ±1, тоже равно 1. Следовательно, если характеристическое уравнение имеет корень, равный -1, то кратность этого корня будет обязательно четной. Но тогда то же самое будет справедливо

ytt=Ui(t) определяют решение системы (57.1). Отсюда непосредственно следует, что система (57.1) имеет т независимых частных решений

Xij = - e-Vij (t), yj = e-Uij {t)

(У=1. 2.....m)

и, следовательно (§ 53), величина -a является характеристическим показателем, а ~-корнем характеристического уравнения этой системы с кратностью, не меньшей т. Эта кратность, очевидно, не может быть больше т, так как в противном случае, применяя

только что доказанное предложение к корню -, мы получим, что вопреки предположению кратность корня р превосходит т.

Из наших рассуждений вытекает также сразу, что корню соответствует такое же число групп решений и такое же число решений в каждой группе, как и корню р.

Итак, теорема доказана для каждого корня, отличного от или -1. Чтобы полностью доказать теорему, достаточно установить, что если характеристическое уравнение системы (57.1) имеет корень, равный -f-l, то кратность такого корня обязательно четная и что то же самое справедливо и для корня, равного -1. Для этого прежде всего заметим, что сумма кратностей корней, равных ±1, будет обязательно четным числом, так как на основании доказанного сумма кратностей всех корней, отличных от ±1, будет четной и порядок 2л характеристического уравнения является также четным.

Далее, произведение всех корней характеристического уравнения равно иа основании (50.8) величине



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019