Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [73] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

зависят от р параметров р,;, . .., \ip, по отношению к которым они голоморфны в области, определяемой неравенствами

i<£,. (/=1, 2.....р). (58.2)

где fj.....Ер-некоторые постоянные числа. Мы предполагаем

при этом, что период © от этих параметров не зависит.

Тогда, как известно, в любом решении = x,{t, щ.....р.)

уравнений (58.1), начальные значения которого не зависят от параметров, функции x,{t, lij, 1р) будут также голоморфными относительно p-i.....\ip п области (58.2). Поэтому, принимая во внимание форму (50.7) характеристического уравнения, мы приходим сразу к следующей теореме Ляпунова.

Теорема. Коэффициенты характеристического уравнения системы (58.1) являются в области (58.2) голоморфными функциями параметров .....\ip.

Здесь существенным является то обстоятельство, что область голоморфности коэффициентов характеристического уравнения совпадает с областью голоморфности коэффициентов исследуемых дифференциальных уравнений. В частности, если коэффициенты исследуемых уравнений являются целыми функциями параметров, то и коэффициенты характеристического уравнения являются также целыми функциями параметров.

Доказанную теорему можно использовать для приближенного вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Покажем, как это сделать.

Допустим с этой целью, что коэффициенты системы (58.1) зависят только от одного параметра р., так что можно написать:

Psi - %1 (О + ipS (О + иЛ (О + • • •.

и по отношению к корню, равному -f-1, если такой корень существует.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Из доказанной теоремы вытекает, что для уравнений вида (57.1) устойчивость может иметь место лишь только тогда, когда все корни характеристического уравнения имеют модули, равные единице.

§ 58. Вычисление корней характеристического уравнения методом разложения по степеням параметра.

Допустим, что коэффициенты системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами

= РлХг- • • • + PsnXn (5 = U 2.....ri) (58.1)



где qiit), рН) PfH) ••• - непрерывные периодические функции t периода © и ряды сходятся при [(х!;.

Рассмотрим фундаментальную систему решений лг,у(, (х) системы (58.1), определяемую начальными условиями

1 (5 = У)

(S, У=1. 2. .

я). (58.3)

.0 (sJ) Как указывалось выше, мы можем написать:

Xsj = xf. it) + (XX(;j it) + (X2X(2) (0 +

где ряды при всех значениях t сходятся в области ((xl-f. Начальные условия (58.3) дают:

4П(0) = 42)(0)= ... =0.

Подставляя ряды (58.4) в уравнения (58.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, мы получим для определения неизвестных функций лг°, лгЧ, ... следующие системы дифференциальных уравнений:

(58.4)

(58.5)

-q лг(*)-

п k-1

0=1 Р=0 Я).

(58.6)

(s=l, 2, ,

у всех этих систем линейных неоднородных уравнений одинаковая однородная часть. Допустим, что мы можем проинтегрировать в замкнутой форме однородную систему уравнений

-lyi-h •••

в которую переходит (58.1) при (х = 0.

Тогда уравнения (58.6) дадут возможность последовательно определять все функции лг(*>, начиная с k = 0. Начальные условия (58.5) делают их при этом вполне определенными.

Следовательно, решения (58.4) могут быть вычислены с какой угодно степенью точности. Полагая в этих решениях txB& и под-



где содержащие аналитически параметр \х функции Psjit, \х) выбраны таким образом, что при 1 = 0 система (58.8) интегрируется в замкнутой форме (обращается, например, в систему с постоянными коэффициентами), а при i = (i*, где ц*-некоторое фиксированное число, лежащее в области сходимости коэффициентов p,jit, \i), она обращается в заданную систему (58.7), т. е.

p,j{t, \i*) = r,,{t) is, J=l, 2, n). Можно, например, положить:

Полученная таким образом система будет как раз того частного вида, который мы рассмотрели, и для нее могут быть вычислены коэффициенты характеристического уравнения вышеуказанным приемом. Положив затем i = i*, мы получим коэффициенты характеристического уравнения заданной системы.

Приведенный прием особенно удобен тогда, когда величина \i* мала, т. е. когда рассматриваемая система мало отличается от системы, интегрируемой в замкнутой форме. В этом случае для вычисления коэффициентов характеристического уравнения можно будет ограничиться небольшим числом приближений.

§ 59. Приложение к системе второго порядка.

Мы переходим теперь к подробному рассмотрению системы, описываемой одним уравнением второго порядка:

+Q4f + y = 0. (59.1)

ставляя в (50.7), мы получим приближенные значения коэффициентов характеристического уравнения.

Мы получили, таким образом, способ приближенного вычисления коэффициентов характеристического уравнения для того частного случая, когда исследуемые уравнения содержат некоторый параметр (х, причем при 1 = 0 уравнения интегрируются в замкнутой форме. Мы можем, однако, к этому частному случаю свести и самый общий.

Пусть нам необходимо вычислить коэффициенты характеристического уравнения заданной системы линейных уравнений

= .I СО Xj + ... + г,„ it) X, (58.7)

с периодическими коэффициентами, не содержащими никаких параметров. Заменим систему (58.7) системой

-= р,, (t, \i)Xi+ ... -\- р,п it, fi) х„, (58.8)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [73] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0131