Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

уравнение (59.1) приводится к виду

- также периодическая функция периода ©. Мы будем поэтому в дальнейшем рассматривать только уравнения вида (59.2). Записав уравнение (59.2) в виде системы

dx- , dx

мы видим, что характеристическое уравнение в рассматриваемом случае имеет вид

/(©)-р /(©)

Ф(©) фЧ®)-р

А(Р) =

= 0,

где f it) и ф() - два частных решения уравнения (59.2), определяемых начальными условиями:

/(0)=1. /(0) = 0,

Ф(0)=о. ф(0)=1. J

Кроме того, свободный член характеристического уравнения на основании (50.8) обрашается в единицу, и потому характеристическое уравнение может быть представлено в виде

р2-2Лр+1=0, (59.4)

А = -[/(©) + ф(0))1. (59.5)

Так как произведение корней характеристического уравнения равно единице, то либо оба корня имеют модули, равные единице, либо модуль одного из корней больше единицы, а модуль другого меньше этой величины, а именно: из соотношения

р = Л±/Л2-1

где Q и Р - периодические функции t периода ©. Несмотря на частный характер этой системы, к ней приводятся многие важные технические задачи. Заменой

у=:ехр (-Y J Qdtx виду

+ рх = 0. (59.2)



(59.7)

(59.8)

/(О, (х)=1. /(О, IX) = О, ф(0, (х) = 0. ф(0, (х) = 1.

Мы можем написать:

/ ( (X) =/о (О + (x/i (О + (х72 (О + • • •. Ф (t, (X) = Фо (О + т\ (О + (АФг (О + •. •

Подставляя в (59.6), находим:

л Фо л

%-=pfn-v = PWn-i (й=1, 2, ...). (59.9) Начальные условия (59.8) дают:

/о(0)=1. /;(0) = 0. Фо(0) = 0. ф;(0)=1.

/«(0) = /;(0) = Фл(0) = Фп(0) = 0 («=!• 2 •••).

Откуда

/о (0=1. Фо(0 =

t t t t

fait) ==jtf Pfn-i dt. ф„ (0 = fdtf /,ф„ 1 dt

0 0 0 0

(«=1. 2. ...).

(59.10)

мы видим, что если 1, то оба корня будут комплексными и

иметь модули, равные единице, а если Л2> 1, то оба корня будут вещественны и один из них будет численно более, а другой численно менее единицы.

Таким образом, основная задача устойчивости для уравнения (59.2) сводится к установлению условий, при которых имеет место каждый из двух возможных случаев: 1) < 1 и 2) Л2> 1.

Некоторые признаки наличия того или другого случая могут быть получены методом предыдущего параграфа. С этой целью рассмотрим вместо уравнения (59.2) уравнение

= (х/7у, (59.6)

где (X-вспомогательный параметр, и найдем сначала коэффициент Л* ((х) для этого уравнения. Положив затем Х = -1, мы получим коэффициент Л для уравнения (59.2), Пусть f {t, ц) и х)-два частных решения уравнения (59.6), определяемые начальными условиями:



Следовательно, на основании (59.5) коэффициент A*(\i) для уравнения (59.6) имеет вид

л*(i) = 1 + -J 2 [fn Н + Ф; («)] 1"- (59-11)

На основании теоремы предыдущего параграфа ряд (59.11) сходится при всех значениях р,. Полагая \i = -1, мы получим коэффициент А для уравнения (59.2) в виде сходящегося ряда

л = Л (-1) = 1 + i 2 [/«(®)+ < и (59-12)

/!=1

Установив это, допустим, что функция p{t) может принимать только отрицательные или равные нулю значения, не обращаясь в нуль тождественно. Тогда все функции Д (t), (t), (t), ц, (() при п нечетном будут отрицательны, а при п четном - положительны. Вследствие этого все члены ряда (59.12) будут положительны, и мы приходим к следующей теореме Ляпунова.

Теорема. Если в уравнении (59.2) функция р может принимать только отрицательные или равные нулю значения, не обращаясь в нуль тождественно, то соответствующее этому уравнению характеристическое уравнение имеет два вещественных корня, из которых один численно более, а другой численно менее единицы.

Допустим теперь, что функция р может принимать только положительные или равные нулю значения, не обращаясь тождественно в нуль. Будут ли при этом корни характеристического уравнения иметь модули, равные единице? Этот вопрос естественно возникает, ибо в случае, когда р постоянно, ответ на него получается положительный. Однако, как мы увидим ниже, если функция р не обращается в постоянную, то ответ на указанный вопрос может получиться отрицательный. Может оказаться, что несмотря на то, что функция р может принимать только положительные значения, характеристическое уравнение будет иметь вещественные корни, из которых один более, а другой менее единицы. Имеет, однако, место следующая теорема, принадлежащая также Ляпунову.

Теорема. Если функция р может принимать только положительные или равные нулю значения, не обращаясь в нуль тождественно, и если при этом выполняется неравенство

©J pdf<4. (59.13)

то характеристическое уравнение системы (59.2) имеет комплексные корни, равные по модулю единице.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0059