Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [75] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Доказательство. Заметим прежде всего, что при р>Овсе функции и ф, а также их производные и ф положительны при всех >0. Докажем, что при всех справедливы неравенства

5„ = (/„ ,Н-Ф; 1)/р-2«(/„Н-ф;)>0. (59.14)

Мы можем, очевидно, писать:

откуда, учитывая (59.9), находим:

S, = jiF„ + p(„)dt, о

/; 1/рн-(/„ ,+ф; 0 / pdt-2nf„.

Если мы докажем, что при tQ имеют место неравенства

F„>0, Ф„>0. (59.15;

то этим самым, очевидно, будет доказано и неравенство (59.14). Чтобы доказать неравенства (59.15), запишем функции F„ и Ф„ через интегралы от их производных. Будем иметь:

о \ о t

Ф« =/(2рФ„-2 + г«).

и„ = (ф„ 2Н- /„-2) fpdt + 4>„ i + tf„ i - (2« - 1)/„ ,, о

=(ф„ 2н-ф;-2) н-д-1н-/;-1-(2«-1)ф;-г

(59.16)



Если функции а„ и v„ также представить в виде интегралов, то легко найдем:

о \

(59.17)

Учитывая, что все функции ф, ф положительны, мы из

(59.16) и (59.17) найдем, что если при всех fO имеют место неравенства F„ i > О, 0„ j > О, то при тех же значениях t будут иметь место и неравенства (59.15). Таким образом, неравенства (59.15) будут доказаны для любого я, если мы их докажем для п - 2. Но для я = 2 выражения (59.16) дают:

t( , t -.2 j t

= J /" - 2pAdt, Ф2 = 2/ {pt-hVi)dt. 0 Vo / J 0

Величины р2 и Og, очевидно, положительны, и поэтому мы можем считать неравенства (59.15) доказанными.

Из этих неравенств, полагая = (о, находим:

/„ («) н- ф; и < [/„ ! (со) н- ф; 1 (со)]

Заменяя я на 2я, получим:

pdt.

/2„ («) Н- Ф2„ («) < [Ля-1 («) Н- Ф2Л-1 И] . Р (59-1 8)

а заменяя я на 2я-[-1 и обращая знаки неравенств, будем иметь:

-[/2„н-1(«)Н-Ф;„н-1(«)] > -[/2„(»)Н-Ф;л(«)] 4 J Р- (59-19)

Установив это, рассмотрим коэффициент А, соответствующий уравнению (59.2), определяемый, как мы видели, рядом (59.12). Если в этом ряде заменить все четные члены правыми частями неравенств (59.18), то будем иметь:

п = 1 \

р dt

[/2л-1(«)Н-Ф2л-1(«)]- (5•o)



-А 4п + 2 ,

л=1 \ о

(59.21)

Если теперь функция р удовлетворяет неравенству (59.13), то все члены, стоящие под знаком суммы в неравенствах (59.20) и (59.21), будут положительны, и эти неравенства дадут

-1<Л<1.

что и доказывает теорему.

Если р0, но неравенство (59.13) не выполняется, то, как мы уже указывали, возможны оба случая: 1) Л-! и 2) Л2>1. Для выяснения, какой из них в каждой конкретной задаче будет иметь место, требуется более подробное исследование ряда (59.12). В специальной работе, посвященной этому вопросу, А. М. Ляпунов) установил ряд признаков наличия того или другого случая. Этому же вопросу посвящена работа Н. Е. Жуковского 2), в которой дается обобщение критерия (59.13). Некоторые другие обобщения этого критерия даны в работах Н. В. Адамова, Н. П. Еругина, Р. С. Гуса-ровой, В. А. Якубовича, М. Г. Нейгауз и В. Б. Лидского). Случай, когда p(t) может менять знак, рассмотрен в большой работе А. М. Ляпунова*)-

) Ляпунов А. М., Sur une serie dans la theorle des equations differen-tielles lineaires du second ordre a coefficientes periodiques. Зап. Акад. наук по физ.-мат. отделению, 8-я сер., т. Х111, № 2, 1902.

2) Ж у к о в с к и й Н. е.. Условия конечности интегралов уравнения

ру = о. Матем. сборник, т. XVI, 1892. См. также: Жуковский Н.Е.,

Собрание сочинений, т. I, Гостехиздат, 1948.

3) Адамов Н. В., О колебаниях интегралов уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами и некоторых условиях устойчивости. Матем. сборник, т. XLII, вып. 6, 1935.

Еругин Н. П., Обобщение одной теоремы Ляпунова. ПММ, т. XII, вып. 5, 1948.

Гусарова Р. С, Об ограниченности решения линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами. ПММ, т. XIV, вып. 3, 1950.

Якубович В. А., Об ограниченности решения уравнения у" +/>(/) у = О, p(t&}=p(t). Докл. Акад. наук СССР, т. LXXIV, № 5, 1950.

Нейгауз М. Г. и Л и д с к и й В. Б., Об ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Докл. Акад. наук СССР, т. LXXVII, № 2, 1951.

•) Л я п у н о в А. М., Об одном вопросе, касающемся линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. Сообщ. Харьк. матем. об-ва, 2-я сер., т. V, №№ 3-4 и 5-6, 1896. См. также примечание в конце книги (стр. 522).

Если же воспользоваться неравенствами (59.19), то получим:

л>1-I uH-i; pdt [д„(«)+Ф2„(«)]-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [75] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013