Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [76] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

= (1+з1псо)зтф, (60.1)

где ф-угол отклонения от вертикали. Полагая со/?==т и отбрасывая нелинейные члены, получим:

Так же как и для маятника с неподвижной осью подвеса, вертикаль является положением равновесия. Но в отличие от случая маятника с неподвижной осью это положение равновесия может быть как устойчивым, так и неустойчивым, а именно: в зависимости от значения (О величина А для уравнения (60.2) может удовлетворять как неравенству < 1, так и неравенству > 1. Задача заключается в том, чтобы выделить значения частоты со, для которых получается первый из указанных случаев, и те критические значения этой частоты, для которых получается второй случай. В этом втором случае будут иметь место поперечные колебания маятника с неограниченно возрастающей амплитудой). Говорят, что в этом случае имеет место параметрический резонанс.

) В действительности амплитуда колебаний будет оставаться конечной, так как точное уравнение (60.1) этих колебаний не является линейным.

§ 60. Некоторые технические задачи, приводящиеся к уравнению второго порядка с периодическими коэффициентами, и связанные с этим вопросы теории.

В предыдущем параграфе мы показали, как при помощи искусственного введения параметра можно найти приближенные значения корней характеристического уравнения. Однако во многих важных технических вопросах такого рода параметры содержатся в дифференциальных уравнениях по существу самой задачи, и при этом требуется определить, будет ли иметь место устойчивость или неустойчивость не при определенном значении параметра, а при любом его значении. Чтобы лучше уяснить, какого рода математические проблемы здесь возникают, рассмотрим некоторые вопросы, приводящиеся к исследованию устойчивости решений линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Мы рассматриваем при этом только такие вопросы, которые приводятся к исследованию одного уравнения второго порядка вида (59.2).

Пример 1. Маятник с колеблющейся точкой подвеса. В качестве простейшего примера рассмотрим маятник длиной /, ось подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания с малой амплитудой а и частотой со. Дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид



Пример 2. Крутильные колебания коленчатых валов. Рассмотрим крутильные колебания коленчатых валов силового двигателя с учетом инерции шатунов и поршней. Дифференциальные уравнения колебаний составлены Э. Треффтцом). Эти колебания обстоятельно исследованы Н. Е. Кочиным2). Мы ограничиваемся здесь рассмотрением случая одноцилиндрового двигателя с маховиком (рис. 14).

Мы будем считать, что масса маховика достаточно велика, так что вращение вала можно считать равномерным. Пусть со - угловая скорость маховика. Обозначим через ф угол вращения кривошипа. Тогда кинетическая энергия кривошипа вместе со связанными с ним движущимися массами (шатуном и поршнем) может быть представлена в виде

Г = У(ф)ф2

V/ZV

f777K

Рис. 14.

функцию У(ф) можно вычислить, если известны размеры и распределение масс кривошипа, шатуна и поршня. Это будет, очевидно, периодическая функция ф периода 2я. При приближенном вычислении принято величину J считать постоянной, равной ее среднему значению Уд за период. При более точном расчете мы можем положить:

где /-некоторая периодическая функция периода 2я, а р,-постоянная величина, которую мы будем считать малой.

Потенциальная энергия упругих сил, действующих на кривошип, равна

П; = Сф2 =1 с (ф - (0/)2,

где ф - угол закручивания, ас - коэффициент жесткости вала при кручении. Кроме того, на кривошип действует внешний крутящий

)Trefftz е., Zur Berechnung der Schwlngungen von Kurbelwellen. Vortrage aus dem Oebiete der Aerodynamik und verw. Oebiete, Berlin, 1930.

2) К о Ч и и H е., О крутильных колебаниях коленчатых валов. ПММ, II, вып. 1, 1934.



J Л1(ф)Йф.

функция М(ф) будет также периодической. Период этой функции равен 2л, если двигатель двухтактный, и 4л, если двигатель четырехтактный, так как в последнем случае рабочий ход поршня приходится на два оборота вала.

Составляя теперь дифференциальное уравнение Лагранжа, получим:

J(<f)-\--4! = -M{)-c{-t). (60.3)

Для упрощения этого уравнения введем вместо обобщенной координаты ф обобщенную координату q при помощи соотношения

ф

д= JfУ(ф)rfф.

Будем иметь:

)/7(ф -со yjiat) ,

Следовательно, уравнение (60.3) может быть переписано в следующем виде:

Л1(ф) с(ф -с>0 dj jot)

~ VTW VjW 2УТ(Ш) dmi) Считая угол закручивания ф - со малым, примем:

ф

9 =3 J 1ЛЩйф = (ф - соО /у(0)0.

М (tp) М (at) с (ф - at) с (ф - at)

VjW " VTJ VjW " VjW)

после чего получим:

;; I q~ (®) &\ dJ {mt)

У (fflO Vj («О 2 VJW) d (at)

Таким образом, колебания описываются неоднородным линейным уравнением с периодическими коэффициентами. Поведение его решений в смысле устойчивости и неустойчивости определяется

момент Л1(ф) с потенциальной энергией



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [76] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014