Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Обозначая через х величину ф1 - фз, из уравнений (60.14) находим:

+ ф(соОл: = -+-

где г)((оО в общем случае несимметричной системы определяется формулой

,ь а + * cos 2Ы 4- с cos Ш J\-\-h .«а i 1;ч

(0=,ео8 2ш + гсо8 4ш У,Л • (-5)

Характер колебаний с точки зрения устойчивости определяется однородной частью уравнения. Эта однородная часть может быть представлена в виде

S-+iW = 0 (60.16)

где положено Х - Ы.

Мы опять получили линейное уравнение с периодическими коэффициентами, содержащее в качестве параметра величину со. При тех значениях этого параметра, при которых величина А для уравнения (60.16) будет удовлетворять неравенству > 1, будет иметь место параметрический резонанс, т. е. будут возникать колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Это и будут критические

значения угловой скорости. Таким образом, задача определения критических скоростей вращения вала сводится к определению значений параметра, при которых для уравнения (60.16) имеет место неустойчивость.

Пример 4. Параметрический резонанс в электрическом колебательном контуре.

Рассмотрим электрический колебательный контур (рис. 16), состоящий из емкости С, самоиндукции L и сопротивления R. Если через q обозначить заряд, то для него, как известно, имеет место дифференциальное уравнение

(60.17)

лллл-

Рис. 16.

Lq+Rq+-qO.

Допустим теперь, что один из параметров системы, например емкость С, периодически изменяется. Пусть, например,

=(1 + m cos соО.

Тогда уравнение (60.17) примет вид

Lq Rq-\- -Х- (1 + fft cos соО ? = 0.



получим:

dx , -( iycost) х = 0, (60.18)

4L - RCo

Отсюда видно, что при подходящем выборе частоты и изменения емкости, несмотря на отсутствие в системе внешних источников тока, в ней могут возникнуть интенсивные электрические колебания. Этим можно воспользоваться для устройства генератора электрического тока, совершенно отличающегося от обычного и основанного на механическом изменении емкости (или самоиндукции). Такого рода генератор был впервые осуществлен Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Па-палекси ).

Задача определения необходимой частоты изменения емкости С сводится к определению параметра и в уравнении (60.18) таким образом, чтобы решения этого уравнения были неустойчивы, т. е. чтобы для него величина А удовлетворяла неравенству Л2> 1.

Во всех рассмотренных примерах задача сводилась к исследованию уравнения второго порядка вида

+ Xp(t)x = 0, (60.19)

где p(i) - периодическая функция времени, а Я - некоторый параметр. Необходимо определить те значения параметра к, при которых для этого уравнения будет иметь место устойчивость или неустойчивость. Так как условия устойчивости и неустойчивости определяются неравенствами, то значения к, при которых будет иметь место устойчивость или неустойчивость, будут, вообще говоря, заполнять некоторые интервалы. Те интервалы значений к, при которых имеет место устойчивость, мы будем называть областями устойчивости уравнения (60.19). Аналогично определяются и области неустойчивости.

Итак, во всех предыдущих примерах задача сводилась к определению областей устойчивости и неустойчивости для уравнения вида (60.19). К этой же задаче приводятся и многочисленные другие важнейшие вопросы техники, физики и астрономии. Решению этой задачи

•) Для того чтобы амплитуда колебаний в такого рода генераторах оставалась конечной, необходимо в систему ввести нелинейность.

Полагая в этом уравнении



ff{t)dt = 0.

а - постоянная, а ]х - постоянная величина, численное значение которой мало по сравнению с единицей.

При указанном ограничении функция р будет принимать при всех i значения одного знака, совпадающего со знаком величины а. На основании первой из теорем, установленных в § 59, для уравнения (60.19) всегда имеет место неустойчивость, если ка < 0. Поэтому нам предстоит исследовать только тот случай, когда ка > 0. Мы можем поэтому уравнение (60.19) записать в виде

+ ;,2(1())д. 0. (60.20)

В нижеследующих параграфах мы занимаемся подробным исследованием уравнения (60.20). Можно считать с достаточной степенью точности, что все примеры параметрического резонанса, рассмотренные выше, описываются уравнением вида (60.20).

) L i а р о U п о f f А., Sur une equation differentielle lineaire du second ordre. Comptes Rendus de IAcad. de sciences. Paris, т. 128, 1899, стр.910-913.

Liapounoff A., Sur une equation transcendente et les equations diffe-rentielles lineaires du second ordre a coefficients perlodiques. Comptes rendus, Paris, T. 128, 1899, стр. 1085-1088.

2) См. no этому поводу: Коваленко К. Р. и К р е й н М. Г., О некоторых исследованиях А. М. Ляпунова по дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. ДАН, т. LXXV, № 4, 1950.

) К р е й н М. Г., Обобщение некоторых исследований А. М. Ляпувова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами. ДАН, т. LXXIII, № 3, 1950.

<) Р а п о п о р т И. М., О линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами. ДАН, т. LXXVI, № 6, 1951; Рапопорт И. М., К вопросу об устойчивости колебаний материальной системы. ДАН, т. LXXVII, № 1, 1951.

посвящены работы А. М. Ляпунова в которых получен ряд очень важных результатов. Некоторые из этих результатов были повторены О. Хауптом 2). Существенное обобщение результатов А. М. Ляпунова получено М. Г. Крейном З), который рассмотрел систему уравнений второго порядка. Этому же вопросу посвящены также работы И. М. Рапопорта

Мы рассмотрим подробно указанную задачу при некоторых частных предположениях, а именно, мы будем предполагать, что функция р (t) в уравнении (60.19) мало отличается от своего среднего значения, так что мы можем писать:

p{t) = a{\ + \yf{t)), где f{t) - периодическая функция периода (о, для которой



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

texas car insurance

0.0077