Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [79] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 61. Области устойчивости и неустойчивости для уравнений второго порядка.

Итак, рассмотрим уравнение второго порядка

+ 2(1+H/)X = 0, (61.1)

где /-периодическая функция времени. Для удобства дальнейших выкладок мы будем предполагать, что период этой функции равен л, чего, очевидно, всегда можно добиться подходящим выбором единицы времени. Предположим для общности, что параметр р. входит не только в качестве множителя перед /, но и что от него зависит также сама функция /. Мы будем предполагать, что эта зависимость является аналитической, так что

/ = /l(0 + l/2(0 + li/3W+ .... (61.2)

где функции fi if) не зависят от р. и являются периодическими с периодом л и ряд сходится при р<а, где а - некоторая постоянная величина.

Необходимо определить области устойчивости и неустойчивости для уравнения (61.1) в зависимости от значений параметра Я.. Будем изменять этот параметр, придавая ему всевозможные вещественные значения. При этом достаточно рассматривать только положительные значения, так как уравнение (61.1) не изменится при замене Я. на -Я. и, следовательно, распределение интересующих нас областей будет при Я < О таким же, как и при Я > 0. Областям устойчивости соответствуют те значения Я, при которых коэффициент А для уравнения (61.1) удовлетворяет неравенству Л2 < 1, а областям неустойчивости- те значения, для которых Л2> 1. Отсюда непосредственно вытекает, что области устойчивости и неустойчивости разделяются теми значениями Я, для которых выполняются либо уравнение

=-fl, (61.3)

либо уравнение

А = -\. (61.4)

Исследуем подробней эти уравнения. Уравнение (61.1) содержит параметр Я2, по отношению к которому оно аналитично (линейно) при всех значениях, и параметр р, по отношению к которому оно аналитично в области р<а. Отсюда на основании теоремы § 58 коэффициент А является целой функцией параметра и аналитической функцией параметра р в области р<а. Для этого коэффициента мы имеем:

А = \ {xi(n)-f Х2(Л)),



где Xi(t), X2(t) - два частных решения уравнения (61.1), определяемых начальными условиями:

xi(0)=l, Xi(0)=rO, 1

[ (61.5)

Эти решения являются целыми функциями Я. и аналитическими функциями (X в области х < а. Мы можем поэтому написать:

Xl = xf)(0 + ix()(0-f ....

х2=4°)(о+}х4(0+

где ряды сходятся при х < а и являются, кроме того, целыми функциями параметра Х. Подставляя эти ряды в (61.1) и принимая во внимание (61.2), получим для определения неизвестных функций xfK лг(>, ... (t=l, 2) следующие уравнения:

--XxfK -l--X4)~Xf,( t)xf,

(61.6)

(/=1, 2).

Кроме того, начальные условия (61.5) дают: xf(0)=l, xf)(0) = 0, 4<)(0) = 0, 40)(0)=1, xU) (0) = xU) (0) = xf (0) = xf (0) = О (У = 1, 2, ...).

(61.7)

Уравнения (61.6) вместе с начальными условиями (61.7) однозначно определяют все функции xf, xf. В частности, имеем:

xf) = co5Xt, 40) = isinX

и следовательно, для коэффициента А получаем:

Л = cos Я,л -f Y [х (л) + x!) (я)} м, -f ...

(61.8)

Установив это, рассмотрим уравнения (61.3) и (61.4). Из (61.8) сразу видно, что эти уравнения удовлетворяются при х = 0 и Х = п, где п - целое число. При этом при п нечетном удовлетворяется уравнение (61.4). а при п четном - уравнение (61.3). Поэтому можно ожидать, что при М. о, но достаточно малом уравнение (61.4) имеет решение относительно X в окрестности любого целого нечетного числа, а уравнение (61.3) имеет решение в окрестности любого



) См. Гурса е.. Курс математического анализа, т. П, глава XVII §§ 355, 356, стр. 241-248, ОНТИ, 1936.

четного числа, обращающиеся в эти целые числа при (х = 0. Для выяснения вопроса о существовании этих решений положим в выражении для А;

1 = п-\-а (61.9)

и приравняем полученное выражение при п нечетном -1, а при п четном 1. Тогда мы получим следующее уравнение для величины а:

("1) 11 4Г+ •••;+

+1 [xW (я) + х) (л)] . ц + ... = 0. (61.10)

Левая часть этого уравнения является аналитической функцией величин а и (X, обращающейся в нуль при а = (х=0. Если бы производная от этой функции по а не обращалась в нуль при a=[i=0, то на основании теоремы существования неявных функций уравнение (61.10) при (X, отличном от нуля, но достаточно малом, допускало бы одно и только одно решение а (р.), обращающееся в нуль при (х = 0. Однако производная от левой части (61.10) по а обращается при а = (х=:0 в нуль, и поэтому указанная теорема существования в рассматриваемом случае неприменима.

Но общая теория неявных функций, определяемых аналитическими уравнениями i), показывает, что в рассматриваемом случае уравнение (61.10) допускает два и только два решения, обращающихся в нуль при р, = 0, и эти решения при ц, достаточно малом, являются аналитическими функциями либо величины х, либо величины l/[X.

Эти предложения легко доказать следующим образом.

Выделив в уравнении (61.10) члены, свободные от а, члены, линейные относительно этой величины, и члены, содержащие эту величину в степени не ниже второй, мы можем указанное уравнение записать следующим образом:

li" (М -f ф (х)) + ах* (iV -f г!) (ix) ) -f [(-1)" +1 + (i, «)] = О, (61.11)

где ф (х), ij) (х), F (х, а) - аналитические функции своих аргументов, обращающиеся в нуль при а = х=0, а М п N - постоянные. Если постоянная М равна нулю, что означает, что уравнение (61.10) не содержит членов, свободных от х, то это уравнение распадается на два: на уравнение а = О и уравнение

« [(-1) + (ii, а)] -f х* (JV -f г!) (х)) = 0.

Последнее уравнение имеет одно и только одно решение для а(ц), обращающееся в нуль при х = 0, так как к нему применима обычная теорема существования неявных функций. Полученное решение будет при этом



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [79] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.1325