Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Лемма 4. Если есть форма знакоопределенная, то и функция (7.9) будет знакоопределенной, и если V,„ есть форма знакопеременная, то и функция (7.9) будет знакопеременной.

Таким образом, знакоопределенность и знакопеременность аналитических функций определяются совокупностью членов наинизшего порядка в разложениях этих функций, за исключением того случая, когда эта совокупность членов наинизшего порядка представляет знакопостоянную форму. Так что, например, функция двух переменных

V{x, у) = х2 + у2д:у2 + уЗ

будет знакоопределенной, а функция

V{x, у) = л:2 -у2+л:у2уЗ

- знакопеременной.

Если совокупность членов наинизшего порядка в разложении аналитической функции представляет собой форму знакопостоянную, то вопрос о знакоопределенности или знакопеременности этой функции решается, очевидно, членами более высоких порядков. Рассмотрим в качестве примера следующие четыре функции переменных хну:

V = х2,

V=x - 2xy\

V = x2 - 2ху2 у = (X - у2)2 + х\ у- уЛ 2ху2 + у4 х4 + Xf.

Первая из этих функций представляет собой постоянно-положительную квадратичную форму. Добавляя к ней член третьего порядка - 2ху2, получим вторую функцию, которая, очевидно, знако-переменна. Добавляя к полученной функции члены четвертого порядка y-l-x, получим третью функцию, которая уже будет знакоопределенной. Наконец, добавляя член шестого порядка ху, мы получим четвертую функцию, которая уже снова является знакопеременной. Действительно, последняя функция ма параболе х = у принимает значение у + У. которое при достаточно малом у будет либо положительным, либо отрицательным, в зависимости от знака у.

Последний пример показывает, что добавлением членов более высоких порядков можно нарушить знакоопределенность или знакопеременность функции, если последняя не является формой от всех переменных.

В заключение отметим, что лемма 4 остается, очевидно, в силе, если предположение, что функция V* является аналитической с разложением, начинающимся членами не ниже т 1-го порядка, заме- шть более общим предположением, что V"* обращается в нуль при = .. . - х„ - О и имеет при этом порядок малости более высо-



кий, чем т, т. е. что V* удовлетворяет в некоторой окрестности начала координат неравенству

\V*ix,.....х„)<Л{х,+ ... +х„Г+«.

где а - положительное число, которое, вообще говоря, может быть сколь угодно малым. Аналитичность функции V* при этом не требуется.

§ 8. Геометрическая интерпретация знакоопределенных функций.

Рассмотрим для простоты знакоопределенную функцию трех переменных V (х, х, х. Все наши рассуждения останутся, однако, справедливыми и при я > 3. Допустим также для определенности, что V - функция положительная. Рассмотрим поверхность

V{X,, Хз) = С, (8.1)

где с - положительное число. При с = О в силу знакоопределенности V будем иметь x = Х2 = х - 0, и, следовательно, поверхность V = 0 вырождается в точку, в начало координат. Покажем, что при с достаточно малом поверхность (8.1) будет замкнутой и будет содержать внутри себя начало координат.

С этой целью покажем, что всякая непрерывная кривая, идущая из начала координат к какой-нибудь точке границы области (6.3), непременно пересекает поверхность (8.1), если только число с не превосходит некоторого, зависящего только от h, достаточно малого положительного числа I. В самом деле, пусть I - точный нижний предел функции V на границе области (6.3), так что на этой границе будем иметь К>-/. Число I будет, очевидно, отличным от нуля и положительным. Если мы теперь рассмотрим произвольную непрерывную кривую, выходящую из начала координат к границе области (6.3), и проследим за изменением функции V вдоль этой кривой, то мы получим, что в начале кривой V обращается в нуль, а в конце кривой - в некоторую величину, не меньшую чем I. Следовательно, в некоторой точке этой кривой V необходимо принимает значение с, если только с <i I, что мы и будем предполагать. Другими словами, указанная кривая необходимо пересекает поверхность (8.1). Таким образом, при достаточно малых значениях с все поверхности (8.1) будут замкнутыми и окружают начало координат).


Рис. 2.

) Поверхности V - с могут быть довольно сложной формы. Они не обязательно гомеоморфны сфере.



dt jU dx, dt dV

И, следовательно, будет также функцией х, х„, обращающейся в нуль при Xj = ... ~ х„ = 0.

Первая теорема Ляпунова об устойчивости, которая в дальнейшем будет именоваться теоремой А, может быть выражена следующим образом:

Теорема А. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти знакоопределенную функцию V(x,.....х„), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с у, или тождественно обращается в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, мы можем предположить, что V есть функция определенно-положительная, так что во всех точках области

х,«/г</У, (9.1)

за исключением начала координат, V принимает только положительные значения. В той же области согласно условию теоремы справедливо неравенство

Пусть е - произвольное сколь угодно малое положительное число, меньшее h. Обозначим через х наибольшую из величин х,, ..., х„, т. е. положим

.V === max {IX, I.....х„1.

Если мы теперь будем изменять с от нуля до некоторого достаточно малого значения, то получим семейство замкнутых, не пересекающихся между собой (в силу.однозначности V) поверхностей, окружающих начало координат и стягивающихся в эту точку при с = 0 (рис. 2).

§ 9. Первая теорема Ляпунова об устойчивости движения.

Мы переходим теперь к изложению основных теорем второго метода Ляпунова исследования устойчивости движения. Нам придется при этом рассматривать одновременно с функциями V(Xj, их производные по времени, составленные в предположении, что .....х„ являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям возмущенного движения (6.1). При таком предположении мы будем для этих производных по времени иметь:

dV V dV dx, V dV



0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018