Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

= 0. (61.13)

Это уравнение имеет при л = 0 два простых кория р = )/(-1)" + 2Л1

и р = -]/( !)"+1 2М- Следовательно, производная -- для каждого из

этих корней при ix = 0 отлична от нуля. Поэтому на основании обычиой теоремы неявных функций существует при [х, достаточно малом, два и только два решения уравнения (61.13), из которых одно обращается при ix = 0

в у( 1)П+1 2Л1, а второе в --У{-1)"+ 2М. Так как функция Ф

аналитична либо относительно Yin. (при т нечетном), либо относительно л (при т четном), то и указанные решения будут аиалитичиы либо относительно }х, либо относительно л. Подставляя эти решения в (61.12), мы получим два решения уравнения (61.11), обращающиеся в нуль при х = 0, и эти решения будут аиалитичиы либо относительно Yv-, либо относительно ц. Допустим теперь, что имеет место случай 2). Положим в уравнении (61.11)

а = ,л«-*р. (61.14)

Тогда уравнение, определяющее р, будет иметь вид

Л1 + Ф (1) + Р (Л + Ф (Ю ) + Pix"-* [(-1)"+ + Р(х«-*)

= 0.

Это уравнение имеет при л = 0 простой корень р = -), и следовательно, при [х, отличном от нуля, но достаточно малом, оио допускает одно

) Величина N отлична от нуля, ибо если бы оиа равнялась нулю, что означало бы, что = оо, то мы имели бы случай 1).

аналитическим относительно х. Присоединяя к нему решение а = 0, мы получим два и только два решения уравнения (61.10), и эти решения будут аналитическими относительно л.

Таким образом, при М = 0 интересующее нас предложение доказано. Допустим теперь, что М Ф 0. Здесь необходимо рассмотреть три случая:

1)*>-5-,

2)*<. 3)* = .

Допустим сначала, что имеет место случай 1). Тогда, полагая в уравнении (61.11)

а = 1х2р, (61.12)

где р -новая неизвестная, и сокращая иа ц"*, получим: А- -

Ф(p,) = л + (p(ц) + pi (л+г)(ц))-



(Л1 + ф ((X)) + р (Л + г]) ((X)) + р2 [(-1)"+ + (х, (г*р)

= 0,

которое имеет одно и только одно решение, обращающееся в -i--

при х = 0. Подставляя это решение в (61.15), мы получим второе решение уравнения (61.11), обращающееся в нуль при ц = 0. Это решение будет также аналитическим относительно х.

Допустим, наконец, что имеет место случай 3). Положим:

а = (х*р = х 2р.

Тогда уравнение, определяющее Р, будет иметь вид

(р, х) = М + Ф (х) + р (Л-f г]) (х))-f р2

" =0.

(61.16)

Это уравнение при ц = О имеет два корня, определяемые квадратным уравнением

(-l)"+-P-f Лр-f Л1 = 0. (61.17)

Если это квадратное уравнение имеет простые корни, то уравнение (61.16) будет при ц = 0 иметь два решения, аналитических относительно х и обращающихся, соответственно, при х = 0 в указанные корни квадратного уравнения. Этим двум решениям уравнения (61.16) соответствуют два решения уравнения (61.11), также аналитических относительно х и обращающихся а нуль при х = 0.

Но если квадратное уравнение (61.17) имеет два равных корня Р = р*,

то вопрос делается несколько сложнее, так как производная обращается

в нуль при р = р*, х = 0, И обычная теорема существования для уравнения (61.16) неприменима. Для решения вопроса в этом особом случае положим в уравнении (61.16)

после чего мы получим уравнение для у, которое будет аналитическим относительно V И х И которое будет допускать при х = О двойной корень у = 0. Следовательно, это уравнение отиосительно у будет такой же структуры, как И уравнение (61.11) для а. Прилагая к этому уравнению предыдущие рассуждения, мы получим два решения для у, если только мы снова не встретимся со случаем 3), притом с тем его частным видом, который мы отметили как особенный. В последнем случае для неизвестной у мы должны будем проделать такую же подстановку, как и с неизвестной р, и получить

и только одно решение для р, обращающееся в -при л = 0. Это решение будет аналитическим относительно л, так как таким является само уравнение. Подставляя это решение в (61.14), мы получим решение уравнения 1.11), обращающееся в нуль при л = 0, и это решение будет аналитическим относительно л. Полагая затем в (61.11)

а = х*Р, (61.15)

мы получим для р уравнение



Умножим это тождество на фй?, где ф-величина, комплексно сопряженная с ф, и проинтегрируем в пределах от О до я. Тогда, интегрируя по частям и принимая во внимание, что в силу периодичности

для новой неизвестной, пусть это будет 6, уравнение вида (61.11). Если для неизвестной 6 не получится особенного случая, то мы получим два решения для 6, которые дадут два решения для а нужного вида. Если же уравнение для 6 будет принадлежать к числу особенных, то указанный процесс придется продолжить далее. Если этот процесс окажется конечным, то мы получим два решения уравнения (61.11) нужного вида. Может, однако, случиться, что процесс окажется бесконечным. Не останавливаясь на этом исключительном случае, укажем лишь, что в этом случае уравнение (61.11) будет иметь двойное решение, обращающееся в нуль при [х = 0.

Итак, уравнение (61.11) при [х, достаточно малом, всегда имеет два корня, обращающихся в нуль при jx = 0. Эти решения будут притом аналитическими либо относительно Vjx, либо относительно [х. Легко видеть, что при [х, достаточно ма-юм, указанное уравнение не имеет других корней, обращающихся в нуль при х = 0. Действительно, если бы такие корни существовали, то, переходя к пределу при ix->0, мы получили бы, что уравнение (61.11) имеет при [х = О нулевой корень, кратность которого превышает два.

Подставляя решения для а в (61.9), мы получим решения уравнений (61.3) и (61.4). Придавая п всевозможные целые значения, мы получим все решения уравнений (61.3) и (61.4). При этом при п нечетном мы получим решения уравнения (61.4), а при п четном - решения уравнения (61.3).

Покажем теперь, что все полученные таким образом решения уравнений (61.3) и (61.4) являются вещественными. С этой целью заметим прежде всего, что если % удовлетворяет уравнению (61.3), то уравнение (61.1) имеет периодическое решение с периодом, равным периоду коэффициента, т. е. я. Действительно, в этом случае корни характеристического уравнения равны единице, откуда непосредственно вытекает существование указанного решения. Если % удовлетворяет уравнению (61.4), то корни характеристического уравнения будут равны-I и, следовательно, будет существовать решение x = (f{t), удовлетворяющее условию

ф(/;--л) = ~ф(/;).

Функция ,ф(/;) будет также периодической, но с периодом 2л. Установив это, допустим, что к = к* является корнем уравнения (61.3) и пусть ф(0 - соответствующее периодическое решение уравнения (61.1). Имеем:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0089