Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

получим:

я я

- dt+l* \ {\ + vf)fdtO. (61.18) о о

Выражения, стоящие под знаками интегралов, вещественны и положительны, и следовательно, такими же будут и сами интегралы. Но тогда тождество (61.18) показывает, что и величина }* будет вещественной И положительной, и следовательно, величина X* будет вещественной.

Точно так же доказывается вещественность корней уравнения (61.4). Разница будет заключаться лишь в том, что теперь в тождестве (61.18) интегралы будут браться в пределах от О до 2я.

Покажем теперь, что все корни уравнений (61.3) и (61.4) будут при р, достаточно малом, аналитическими функциями этой величины. В самом деле, из предыдущего следует, что все корни уравнений (61.3) И (61.4) являются либо аналитическими функциями величины Ур, либо аналитическими функциями величины р. Но если хотя бы один из указанных корней являлся аналитической функцией величины )/р, то он обязательно был бы комплексным либо при положительных значениях р, либо при отрицательных значениях этой величины. Но мы только что показали, что все корни уравнений (61.3) и (61.4) являются вещественными, и это будет справедливо вне зависимости от того, будет ли параметр р положительным или отрицательным. Таким образом, все корни уравнений (61.3) и (61.4) будут аналитическими функциями величины р в некоторой окрестности точки р = 0, т. е. они будут разлагаться в ряды по целым положительным степеням р, сходящиеся при р, достаточно малом.

Будем теперь рассматривать всевозможные значения X и построим график кривой А(Х) (считая р фиксированным). С этой целью отложим на оси X все корни уравнений (61-.3) и (61.4). Как мы видели, все эти корни распадаются на пары, расположенные вблизи целочисленных значений X. Обозначим через Xfi, Xfi корни, расположенные вблизи

целого нечетного числа п, и через Х„, Хп - корни, расположенные вблизи целого четного числа п. Все эти корни разбивают ось X на интервалы двух типов (рис. 17). Интервалы первого типа ограничены с обеих сторон корнями одного вида, т. е. такими, которые либо оба удовлетворяют уравнению (61.3), либо оба удовлетворяют уравнению (61.4). К такого рода интервалам принадлежат, например, интервалы {xl, Xi) и (Я-г, Х. Интервалы первого типа мы будем называть однородными. Интервалы второго типа, как, например, интервал (Xi, Яг), ограничены, с одной стороны, корнем уравнения (61.3), а с другой стороны - корнем уравнения (61.4). Интервалы такого вида мы будем называть разнородными. Как видно из чертежа,



интервалы однородные и разнородные чередуются. Некоторые однородные интервалы могут выродиться в точку. Это будет в том случае, если уравнение (61.3) или (61.4) имеет кратные корни.

Теперь легко видеть, что в каждом однородном (невырожденном) интервале имеет место неравенство Л> 1, а в каждом разнородном интервале - неравенство Л2< 1. Другими словами, области неустойчивости совпадают с однородными интервалами, а области устойчивости - с неоднородными интервалами. Действительно, рассмотрим какой-нибудь неоднородный интервал, например {Х\, Х). В этом интервале величина А изменяется от -1 в начале интервала до --1


Рис. 17.

в конце интервала. И так как при этом величина А внутри интервала нигде не может обратиться в ± 1, так как все корни уравнений (61.3) и (61.4) расположены в концах интервалов, то во всех точках внутри рассматриваемого интервала необходимо должно выполняться неравенство Л2<1. Рассмотрим теперь какой-нибудь однородный невырожденный интервал, на концах которого Л == -)- 1. Пусть это будет, например, интервал {х2, Х2). Так как в этом интервале А изменяется от --1 до -)-1, то во всех точках внутри интервала выполняется либо неравенство Л > 1, либо неравенство Л < 1. Чтобы выяснить, какой из этих случаев действительно имеет место, рассмотрим точки, лежащие вблизи одного из концов интервала. Пусть это будет

конец Х2. Так как интервал по условию не вырожден, то корень Х2

является простым и, следовательно, не обращается в нуль при

Х - Х. И так как левее точки Х2 величина Л меньше единицы, то отсюда следует, что правее указанной точки величина Л больше единицы. Предложение, таким образом, доказано. Точно так же доказывается это предложение и для тех однородных интервалов, на концах которых Л = - 1.



Итак, придавая в уравнении (61.1) параметру Я, всевозможные значения, мы получим бесконечную последовательность чередующихся областей устойчивости и неустойчивости. Границами этих областей являются корни уравнений (61.3) и (61.4), которые делят ось X на интервалы двух видов: однородные, которые ограничены с обоих концов либо корнями уравнения (61.3), либо корнями уравнения (61.4), и разнородные, которые с одной стороны ограничены корнем уравнения (61.3), а с другой стороны - корнем уравнения (61.4). Области устойчивости совпадают с неоднородными интервалами, а области неустойчивости с однородными интервалами. Корни уравнения (61.4) расположены вблизи целых) нечетных чисел по два корня вблизи каждого такого числа, причем при (х = О эти корни сливаются и делаются равными указанному числу 2). Корни уравнения (61.3) располагаются аналогичным образом вблизи целых четных чисел. Все указанные корни являются при (х, достаточно малом, аналитическими функциями этой величины.

§ 62. Практический способ определения областей устойчивости И неустойчивости для уравнения второго порядка.

Из результатов предыдущего параграфа следует, что все области неустойчивости уравнения (61.1) расположены в окрестности целых чисел. При этом в окрестности каждого целого числа « расположена одна область неустойчивости. Эта область при « четном ограничена корнями уравнения (61.3), а при « нечетном-корнями уравнения (61.4). При (х = 0 каждая область неустойчивости стягивается в точку.

В настоящем параграфе мы рассматриваем один из приемов практического определения областей неустойчивости, т. е. корней уравнений (61.3) и (61.4).

Допустим, что в уравнении (61.1)

- + Я2(1 + (х/(/, (х))х = 0, (62.1)

fit, ti) = /,(0+(X/2(0+

X является корнем уравнения (61.3) или (61.4). Пусть для определенности речь идет о корне, обращающемся при (х = 0 в заданное

) Необходимо иметь в виду, что период функции / в уравнении (61.1) принят равным п. Если бы этот период равнялся какому-нибудь другому числу ©, то корни уравнений (61.3) и (61.4) располагались бы вблизи чисел

tlTl

вида-, где п - целое число.

2) Не следует думать, что каждая такая пара корней непременно разделяется соответствующим ей целым числом. Может случиться, что оба корня находятся по одну сторону от указанного числа.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0015