Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) Период этих функций равен я, если п - число четное, и 2я, если п - число нечетное. Вообще в этом параграфе, говоря о периодических решениях уравнения (62.1), мы будем иметь в виду, не оговаривая это особо, что речь идет о решениях с периодом я или 2я в зависимости от четности или нечетности л.

целое число п. Как мы видели в предыдущем параграфе, при (х, достаточно малом, указанный корень является аналитической функцией (х, и мы можем писать:

Я,2 = «2 ( aj(j, ( 0(2,2-( ... (62.2)

При сделанном предположении уравнение (62.1), как это уже указывалось в предыдущем параграфе, имеет периодическое решение с периодом, равным 2л;, если ге-число нечетное,- и равным л, если «-число четное. Будет ли указанное решение также являться аналитической функцией (X?

Так как коэффициенты уравнения (62.1) являются аналитическими функциями (X, то всякое решение этого уравнения, начальные значения которого не зависят от (х, будет аналитическим относительно х. То же самое будет справедливо и по отношению к любому решению, начальные значения которого зависят от (х, но являются аналитическими функциями этой величины. Пусть x = x(J:) - решение уравнения (62.1), определяемое начальными условиями:

x(0)=U х(0) = 0. (62.3)

Характеристическое уравнение для (62.1) при сделанном предположении относительно X имеет двойной корень, равный 1 (при « четном) или-1 (при « нечетном). Поэтому любое решение уравнения (62.1) и, в частности, рассматриваемое решение x{t) будет либо периодическим, либо вида

x{t) = tit) + {t). (62.4)

где ф и ф - периодические функции времени). В последнем случае функция ф также определяет решение уравнения (62.1), которое и является искомым периодическим решением. Но в силу того, что начальные условия (62.3) решения (62.4) не зависят от (х, это решение является аналитическим относительно (х. Поэтому функция ф(/), определяющая искомое периодическое решение, является аналитической относительно (х.

Итак, мы показали, что в рассматриваемом случае уравнение (62.1) допускает периодическое решение, аналитическое относительно х. Если мы это решение умножим на С(р,), где С((х)-произвольная неаналитическая функция х, то мы получим новое периодическое решение уравнения (62.1). Отсюда с очевидностью вытекает, что не всякое периодическое решение уравнения (62.1) является аналитиче-



) Радиус сходимости этого ряда совпадает с радиусом сходимости левой части уравнения (62.1).

ским относительно (х. Рассмотрим, однако, аналитическое периодическое решение. Пусть это решение имеет вид

Х = Хо (О + liXi (t) + (Х2Х2 (О + .... (62.5)

где Xi - периодические функции времени, и ряд сходится при достаточно малом (j,). Чтобы сделать решение определенным, нужно будет указать некоторые дополнительные условия, определяющие произвольный постоянный множитель, входящий в это решение. Это может быть сделано следующим образом.

Если решение (62.5) не обращается в нуль при / = 0, то, умножив его на подходящим образом выбранный множитель, мы можем получить решение, обращающееся при в наперед заданную величину

Ж=:Жо+(хЛ1 + М.Л12+... (62.6)

Другими словами, в рассматриваемом случае уравнение (62.1) допускает периодическое решение вида (62.5), в котором функции Xi {t) удовлетворяют начальным условиям

x,(0)=Mi, (62.7)

где Ml - постоянные, удовлетворяющие лишь единственному условию, что ряд (62.6) сходится. Мы можем поэтому первые Л/ постоянных М, где N-сколь угодно большое число, выбирать совершенно произвольно.

Если решение (62.5) обращается в нуль при t = 0, то производная от него по t при t = 0 будет отличной от нуля, и мы можем потребовать, чтобы выполнялись начальные условия

i. (0) = Л/,. (62.8)

где Ni - произвольные постоянные, для которых ряд

A/o + (xA/i + (xW2+... (62.9)

сходится.

Для того чтобы в каждом конкретном случае выяснить, каким из начальных условий (62.7) или (62.8) можно удовлетворить, достаточно определить функцию Xq. Если л;0(О)=О, то решение (62.5) при р,, достаточно малом, не будет обращаться в нуль при / = 0, и мы будем иметь начальные условия (62.7). Если же Хо(0) = 0, но л;,)(0)=0, то можно удовлетворить условиям (62.8). Если Xo(0) = = Xq(0) = 0, to, как будет видно ниже из вида XQ(t), будем иметь тождественно Xq(/)==0. Этот случай может быть исключен, так как, разделив, в случае необходимости, решение (62.5) на подходящую степень р,, мы можем всегда добиться, чтобы оно имело свободный член.



Условия (62.7) или (62.8) однозначно определяют решение (62.5), если мы только не имеем дело с тем исключительным случаем, когда все решения уравнения (62.1) являются периодическими. Этот случай возможен, так как характеристическое уравнение имеет двукратный корень, которому могут соответствовать две группы решений (§ 52). В этом последнем случае, для того чтобы решение (62.5) было вполне определенным, необходимо задать начальные значения как самого решения, так и его производной.

Установив это, подставим в уравнение (62.1) вместо Я, ряд (62.2), и постараемся ему удовлетворить формальным рядом вида (62.5) с периодическими коэффициентами. Из предыдущего следует, что такой ряд всегда найдется, если только коэффициенты О; в (62.2) выбраны определенным образом, а именно таким, что ряд (62.2) удовлетворяет либо уравнению (61.3), либо уравнению (61.4). При этом можно будет удовлетворить либо начальным условиям (62.7), либо начальным условиям (62.8), либо тем и другим одновременно. Рассмотрим те уравнения, которым должны удовлетворять функции Xi(t).

Подставляя в (62.1) ряды (62.2) и (62.5), будем иметь;

оо / оо \ / оо \

/ = 0

/ 1 = 0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (х, получим следующие дифференциальные уравнения;

пЧу = - «2/iXo - ajXo, -г «22 == - («/l + tti) Xi - («2/2 4- «1/1) Хо - «20

(62.10)

и вообще

+ пх, = - (nVi+aO Xft i-a,Xo+F, (t. х.....x.j), (62.11)

где - линейные функции от х, Xi.....x.j с периодическими

коэффициентами. Эти функции зависят от постоянных .....а.,

и не содержат постоянной а.

Уравнения (62.10) и (62.11) дают возможность последовательно определять неизвестные функции х,,. Однако для того чтобы эти функции получались периодическими, необходимо, чтобы правые части указанных уравнений удовлетворяли некоторым условиям. Эти условия дают возможность определить неизвестные коэффициенты а,- в выражении для Покажем, как это делается.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0112