«2/iCos«/=2 (а cos mt-\-bsin mt).

m = l

причем

«2/, sin «/=2 iCmCos mt-\-d„sinmt},

m = l

(62.12)

с d --i-

(62.13)

где p и Y - коэффициенты при cos2«/ и sin2«/ в разложении функции «2/, )•

Из формул (62.12) и (62.13) сразу находим коэффициенты при cos«/ и sin «/.в правой части уравнения для л;,. Приравнивая эти коэффициенты нулю, получаем следующие уравнения:

(P + 2ai)/lo + Y5o = 0. уЛо+(2а,-р)5о = 0.

(62.14)

которым должны удовлетворять величины Лд и Bq. Для того чтобы эти уравнения имели решение, отличное от тривиального Ло=во=0, необходимо и достаточно, чтобы величина удовлетворяла квадратному

1) Разложение Фурье функции /i (t) не содержит свободного члена, так как, по условию, среднее значение функции / \t) равно нулю. Вследствие этого члены, содержащие cos п/ и s\n nt, в выражениях (62.12) могут появиться лишь за счет членов с cos 2л/ и sXnlnt в разложении функции /;(/).

Общее решение для Xq имеет вид

Хо = Aq cos nt -- fig sin nt.

Оно всегда является периодическим и содержит две произвольные постоянные Aq и Bq. Обращаемся к уравнению, определяющему х,. Правая часть этого уравнения является периодической функцией t. Для того чтобы это уравнение допускало периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы разложение Фурье правой части не содержало членов с cos«/ и sinnt. Найдем коэффициенты при этих членах.

Так как, по условию, функция /j является периодической с периодом п, то эта функция разлагается в ряд Фурье по косинусам и синусам целых (четных) кратностей t. Но тогда функции /, cos nt-и /, sin«/ также разлагаются по синусам и косинусам целых (четных, если п - четное, и нечетных, если п - число нечетное) кратностей t, и мы можем писать:

2fioa2 + (2ai-P)fii+292

где и 2 - вполне определенные постоянные, представляющие собой

коэффициенты при cos nt и sin nt в выражении raVii + («i/i+«V2) Xq-Определитель A этой системы, равный

А = 2 (2а, - р) Ло -- 2у Bq = 8а1Ло = 8ai,

отличен от нуля, и потому эта система однозначно определяет величины и By

уравнению

(2ai + p)(2ai-p)-f = 0.

Отсюда находим:

Здесь необходимо рассмотреть два случая в зависимости от того, будет ли p-j-YTO или р + уО. Рассмотрим сначала первый из указанных случаев. В этом случае уравнение для имеет два простых вещественных корня. Приравняем одному из этих корней. Так как он является простым, то он не обращает в нуль хотя бы один из миноров определителя системы (62.14), вследствие чего только одна из величин Aq и Bq может быть выбрана произвольно. Допустим, что этой величиной является А, для чего необходимо, чтобы она получилась отличной от нуля. Это условие будет, например, наверняка выполнено, если у ф 0. При сделанном предположении величина Xq(0) будет отличной от нуля. Поэтому на основании вышесказанного мы можем при вычислении функций (t) удовлетворить начальным условиям (62.7). Мы можем, в частности, положить Aq=1. Тогда уравнения (62.14) дадут для Bq определенное значение.

Выбрав, таким образом, Oj, Aq и Bq, мы будем иметь, что уравнение для Xj будет допускать периодическое решение. Но тогда и общее решение этого уравнения, имеющее вид

jCj = jct(0 +jCos«/--fijSin«,

где X* - частное периодическое решение, а Л1 и В-произвольные постоянные, будет также периодическим. Величину А мы можем положить равной нулю. Это будет обозначать, что в условиях (62.7) величина принята равной xi(0).

Переходим теперь к вычислению дальнейших приближений. Приравнивая нулю коэффициенты при cosи sin«/ в уравнении для Xj, получим систему линейных неоднородных уравнений

После того как и вычислены указанным способом, уравнение для Х2 будет допускать только периодические решения, и мы можем написать:

2 ~ 2 ~(~ 2 COS nt -j- fij sin nt,

где x(t) - некоторая периодическая функция, a Лз и fij - произвольные постоянные. Постоянную Лз, так же как и Л;, можно положить равной нулю. Что же касается постоянной fij- то она определится вместе с постоянной аз из условия периодичности функции х. Действительно, допустим, что постоянные Oj, aj, .... a.j и

функции Xq. jCj.....JCj i уже определены и что указанные функции

вышли периодическими. При этом мы можем написать:

ft i = x; i(0 + fi, iSin«/,

где jc j-некоторая периодическая функция, а - оставшаяся еще неопределенной постоянная, которая должна быть вычислена вместе с постоянной из условия периодичности функции х. Эти последние условия мы получим, приравнивая нулю коэффициенты при cos«/ и sin«/ в правой части уравнения для лг. Таким путем мы, как легко видеть, получим следующие уравнения:

2Аа, + уВ, , + 2р, = 0. 2fioaft + (2ai-P)fi, i + 29, = 0, (-

где и - коэффициенты при cos«/ и sin«/ в выражении - 1 fiX*i-\- F;,, в котором Fj, являясь, как указывалось выше, линейной функцией величин Xq, jcj, . . ., Xj 2 с периодическими коэффициентами, будет вполне определенной периодической функцией времени. Уравнения (62.15) однозначно определяют величины и B i.

Мы предположили, что уравнения (62.14) дают для Aq величину, отличную от нуля. Допустим, что Лд = 0 и, следовательно, ВдфО.

В этом случае Xq(0) = 0, но XQ(0)фO, и поэтому вместо начальных условий (62.7) будут фигурировать начальные условия (62.8). В связи с этим в выражениях для л: можно будет отбрасывать члены с sin«/, и эти выражения будут иметь вид

х = х1-\-А cos nt,

где А - произвольные постоянные. Отбрасывание членов Bjsinnt равносильно предположению, что в начальных условиях (62.8) величины jVj приняты равными х* (0). Постоянная А, так же как и в предыдущем случае, определится вместе с постоянной a+j из условия периодичности x+i.