Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [83] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

«2/iCos«/=2 (а cos mt-\-bsin mt).

m = l

причем

«2/, sin «/=2 iCmCos mt-\-d„sinmt},

m = l

(62.12)

с d --i-

(62.13)

где p и Y - коэффициенты при cos2«/ и sin2«/ в разложении функции «2/, )•

Из формул (62.12) и (62.13) сразу находим коэффициенты при cos«/ и sin «/.в правой части уравнения для л;,. Приравнивая эти коэффициенты нулю, получаем следующие уравнения:

(P + 2ai)/lo + Y5o = 0. уЛо+(2а,-р)5о = 0.

(62.14)

которым должны удовлетворять величины Лд и Bq. Для того чтобы эти уравнения имели решение, отличное от тривиального Ло=во=0, необходимо и достаточно, чтобы величина удовлетворяла квадратному

1) Разложение Фурье функции /i (t) не содержит свободного члена, так как, по условию, среднее значение функции / \t) равно нулю. Вследствие этого члены, содержащие cos п/ и s\n nt, в выражениях (62.12) могут появиться лишь за счет членов с cos 2л/ и sXnlnt в разложении функции /;(/).

Общее решение для Xq имеет вид

Хо = Aq cos nt -- fig sin nt.

Оно всегда является периодическим и содержит две произвольные постоянные Aq и Bq. Обращаемся к уравнению, определяющему х,. Правая часть этого уравнения является периодической функцией t. Для того чтобы это уравнение допускало периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы разложение Фурье правой части не содержало членов с cos«/ и sinnt. Найдем коэффициенты при этих членах.

Так как, по условию, функция /j является периодической с периодом п, то эта функция разлагается в ряд Фурье по косинусам и синусам целых (четных) кратностей t. Но тогда функции /, cos nt-и /, sin«/ также разлагаются по синусам и косинусам целых (четных, если п - четное, и нечетных, если п - число нечетное) кратностей t, и мы можем писать:



2fioa2 + (2ai-P)fii+292

где и 2 - вполне определенные постоянные, представляющие собой

коэффициенты при cos nt и sin nt в выражении raVii + («i/i+«V2) Xq-Определитель A этой системы, равный

А = 2 (2а, - р) Ло -- 2у Bq = 8а1Ло = 8ai,

отличен от нуля, и потому эта система однозначно определяет величины и By

уравнению

(2ai + p)(2ai-p)-f = 0.

Отсюда находим:

Здесь необходимо рассмотреть два случая в зависимости от того, будет ли p-j-YTO или р + уО. Рассмотрим сначала первый из указанных случаев. В этом случае уравнение для имеет два простых вещественных корня. Приравняем одному из этих корней. Так как он является простым, то он не обращает в нуль хотя бы один из миноров определителя системы (62.14), вследствие чего только одна из величин Aq и Bq может быть выбрана произвольно. Допустим, что этой величиной является А, для чего необходимо, чтобы она получилась отличной от нуля. Это условие будет, например, наверняка выполнено, если у ф 0. При сделанном предположении величина Xq(0) будет отличной от нуля. Поэтому на основании вышесказанного мы можем при вычислении функций (t) удовлетворить начальным условиям (62.7). Мы можем, в частности, положить Aq=1. Тогда уравнения (62.14) дадут для Bq определенное значение.

Выбрав, таким образом, Oj, Aq и Bq, мы будем иметь, что уравнение для Xj будет допускать периодическое решение. Но тогда и общее решение этого уравнения, имеющее вид

jCj = jct(0 +jCos«/--fijSin«,

где X* - частное периодическое решение, а Л1 и В-произвольные постоянные, будет также периодическим. Величину А мы можем положить равной нулю. Это будет обозначать, что в условиях (62.7) величина принята равной xi(0).

Переходим теперь к вычислению дальнейших приближений. Приравнивая нулю коэффициенты при cosи sin«/ в уравнении для Xj, получим систему линейных неоднородных уравнений



После того как и вычислены указанным способом, уравнение для Х2 будет допускать только периодические решения, и мы можем написать:

2 ~ 2 ~(~ 2 COS nt -j- fij sin nt,

где x(t) - некоторая периодическая функция, a Лз и fij - произвольные постоянные. Постоянную Лз, так же как и Л;, можно положить равной нулю. Что же касается постоянной fij- то она определится вместе с постоянной аз из условия периодичности функции х. Действительно, допустим, что постоянные Oj, aj, .... a.j и

функции Xq. jCj.....JCj i уже определены и что указанные функции

вышли периодическими. При этом мы можем написать:

ft i = x; i(0 + fi, iSin«/,

где jc j-некоторая периодическая функция, а - оставшаяся еще неопределенной постоянная, которая должна быть вычислена вместе с постоянной из условия периодичности функции х. Эти последние условия мы получим, приравнивая нулю коэффициенты при cos«/ и sin«/ в правой части уравнения для лг. Таким путем мы, как легко видеть, получим следующие уравнения:

2Аа, + уВ, , + 2р, = 0. 2fioaft + (2ai-P)fi, i + 29, = 0, (-

где и - коэффициенты при cos«/ и sin«/ в выражении - 1 fiX*i-\- F;,, в котором Fj, являясь, как указывалось выше, линейной функцией величин Xq, jcj, . . ., Xj 2 с периодическими коэффициентами, будет вполне определенной периодической функцией времени. Уравнения (62.15) однозначно определяют величины и B i.

Мы предположили, что уравнения (62.14) дают для Aq величину, отличную от нуля. Допустим, что Лд = 0 и, следовательно, ВдфО.

В этом случае Xq(0) = 0, но XQ(0)фO, и поэтому вместо начальных условий (62.7) будут фигурировать начальные условия (62.8). В связи с этим в выражениях для л: можно будет отбрасывать члены с sin«/, и эти выражения будут иметь вид

х = х1-\-А cos nt,

где А - произвольные постоянные. Отбрасывание членов Bjsinnt равносильно предположению, что в начальных условиях (62.8) величины jVj приняты равными х* (0). Постоянная А, так же как и в предыдущем случае, определится вместе с постоянной a+j из условия периодичности x+i.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [83] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.011