Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Таким образом, в рассматриваемом случае, исходя из какого-нибудь корня квадратного уравнения для а, мы получим одно и только одно формальное разложение вида (62.2) для I?, при котором уравнение (62.1) допускает формальное периодическое решение вида (62.5), удовлетворяющее начальным условиям (62.7) или (62.8). Рассмотрев оба значения для а,, мы получим два различных формальных разложения для I? и периодического решения. Но, с другой стороны, по доказанному, для каждого целого « существует два и только два значения для I?, ограничивающие соответствующую область неустойчивости и представляемые сходящимися рядами вида (62.2), при которых уравнение (62.1) допускает периодическое решение вида (62.5), удовлетворяющее начальным условиям (62.7) или (62.8). Отсюда непосредственно следует, что полученные выше формальные разложения для Я,2 как раз и представляют искомые границы области неустойчивости и, следовательно, сходятся.

Отсюда, однако, не вытекает, что разложения (62.5) для периодического решения будут также сходиться. Для того чтобы последнее действительно имело место, необходимо, чтобы ряды (62.6) и (62.9) сходились. Вопрос о том, будут ли эти условия выполнены при нашем выборе величин ЛГд и Nj,, требует еще дальнейшего исследования. Однако, как мы уже отмечали выше, первые величин ЛГд, и N, где -сколь угодно большое число, могут быть выбраны совершенно произвольно и, следовательно, так, как это сделано выше. Поэтому сумма первых членов формального ряда (62.5) отличается от действительного периодического решения на величину порядка малости (относительно \>) выше N. Мы могли бы, конечно, вести вычисления таким образом, чтобы получить заведомо сходящиеся ряды. Для этого, например, достаточно было бы в выражениях для Х/, вместо того чтобы отбрасывать члены Ai;Cosnt или Bj,s\nnt, выбирать постоянные и Bj, таким образом, чтобы при *>1 выполнялись либо условия jc(0) = 0, либо условия Xf, (0) = 0. Однако при этом вычисления значительно усложнятся, так как каждый лишний член в каком-нибудь приближении значительно усложняет выражение для последующего приближения. В таком усложнении вычислений нет никакой необходимости, так как для нашей задачи периодическое решение уравнения (62.1) играет лишь вспомогательную роль и его точное выражение нас не интересует.

Допустим теперь, что р2--у==0> что будет иметь место в том случае, когда разложение функции fit) не содержит членов с cos 2га и sin2ra. В этом случае квадратное уравнение для а, будет иметь двойной корень (равный нулю), который обращает в нуль все миноры определителя системы уравнений (62.14). Эти уравнения не определяют поэтому никакой зависимости между и Bq. Однако не следует думать, что Aq и Bq могут быть взяты совершенно произвольно. Эти величины, так же как и в случае -{-уфО, вообще говоря, связаны между собой, но эта зависимость установится при рассмотрении следующих приближений.

В самом деле, рассмотрим уравнение для х. Правая часть этого уравнения содержит множитель Xq. Поэтому общее решение этого уравнения, которое согласно выбору а, будет периодическим, имеет



\+QBq = 0, \ :-щ)Во = 0. j

(62.16)

где Р, Q, R п S-некоторые определенные постоянные. Действительно, так как а, = 0, то единственным членом в правой части уравнения для не содержащим Лд и Bq, будет - /г/, (Л, cos «/-j-fi, sin«/). а этот член по условию не содержит ни cos nt, ни sin«/.

Приравняв нулю определитель уравнений (62.16), мы получим квадратное уравнение для а. Если это уравнение имеет простые корни, то длякаждого из них получится вполне определенный ряд для Х, совершенно так же как и в случае p-j-YfcO. При этом можно будет положить либо Л, = О, либо fi, == О в зависимости от того, какая из величин Aq и Bq, определяемая уравнениями (62.16), заведомо отлична от нуля. Вторая из этих постоянных вместе с определится из условия периодичности х. Уравнения для этих постоянных получатся линейными и дадут для них вполне определенные значения. Аналогично вычисляются и дальнейшие приближения. Вычисления при этом будут совершенно такими же, как и в случае -\-у Ф 0. Разница будет заключаться лишь в том, что входящие в k-t приближение постоянные А или fi будут определяться из условия периодичности не (--1)-го, а (А---2)-го приближения.

Если окажется, что и уравнение для щ имеет кратные корни, то исследование усложняется. Мы не будем здесь рассматривать этих более сложных случаев в общем виде, так как в каждом отдельном частном случае их исследование не представит никаких трудностей. Как бы разнообразны ни были эти частные случаи, мы можем на основании вышесказанного быть всегда уверенными, что всегда получатся, по крайней мере, два формальных разложения для интересующей нас величины Я,. Можно показать, на чем мы здесь не останавливаемся, что таких разложений никогда не получится больше двух и что, следовательно, они и будут искомыми разложениями и будут сходиться. Может, конечно, случиться, как это вытекает из общей теории, что оба разложения совпадут. Характер вычислений во всех случаях мало отличается от рассмотренных выше более простых случаев и достаточно выясняется на приводимых ниже примерах.

X, = л 1 COS nt + fi, sin nt + Лоф1 (О + fio% (0.

где ф, и -периодические функции, а Л, и -произвольщ.1е постоянные.

Рассмотрим теперь уравнение для Xj и приравняем нулю коэффициенты при cos«/ и sin«/ в правой части этого уравнения. Полученные таким образом уравнения будут необходимо однородными относительно Лд и и не будут содержать Л, и В. Эти уравнения будут иметь вид

(Р-аз) Aq+QBq = 0, /?Ло + (5-



- Ь cos 2т -

- с cos 4т

7,4-Л

- q cos 2т -

-г cos 4т

Мы будем предполагать, что коэффициенты Ь, с, q, г малы по сравнению с а Ь. Тогда, представляя ф в виде

X11 - (4 COS 2т + 4 cos 4т14- (i cos 2т 4- - cos 4тУ + ... I ( \Р Р i \Р Pi \

и вводя обозначения

Д 71 + 72 й ТН-Тг

7,72

7,72

с 7,+72

7,72

мы можем записать уравнение (63.1) в виде ~-\-{\-{а,соъ2-х+а2СОъ 4т) (х +

-f (аз cos 2т4- «4 cos 4т+ cos 6т + cos 8т) р2 + ...) л: = О, (63.2)

где йу-постоянные, которые могут быть выражены через g, g. Si- ёь Si- В частности, имеем:

g2 - gjgo 2g3g4gl) -glg4 -g2g3

Yo •---

Для нахождения первой области неустойчивости полагаем в уравнении (63.2)

=1+а,(х+а2(х2+ ...

(63.3)

U пытаемся ему удовлетворить формальным рядом вида

X = XQ-iriiXi-\-y,X2-i- • . = Ло COST+ 5о sin т-4-10.1 +(х2л;2+ .. ..

§ 63. Примеры приложения метода предыдущего параграфа.

Рассмотрим несколько примеров, поясняющих метод предыдущего параграфа.

Пример 1. Определим первую область неустойчивости (т. е. соответствующую «=1) в задаче колебаний спарников электровоза. Как было показано в § 60, дифференциальное уравнение колебаний имеет вид

-0 + ф(т) = О. (63.1)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0012