Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [85] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 63] примеры приложения метода предыдущего параграфа 263

где Лд и Вд - постоянные, а Xj - периодические функции т (периода 2л). Для лг, и х получаем следующие уравнения:

+ лг, == - (а, cos 2т + аг cos 4т) лгд - а, =

= + cosT + (--a,)BoSinT-

- J (а, + as) Лд cos Зт - («1 - «2) sin Зт -

-cos5T-sin 5т.

4- ЛГ2 = - (а, cos 2т + aj cos 4т) лг, -

- (аз cos 2т + a cos 4т + cos 6т + cos 8т)лг, - щх -

- а, (а, COS 2т + aj cos 4т) х - ах.

Для того чтобы функция лг, вышла периодической, необходимо и достаточно, чтобы в правой части уравнения, определяющего эту функцию, не содержалось членов ни с cost, ни с sin т. Приравнивая коэффициенты при этих величинах нулю, получим систему линейных и однородных уравнений для определения Лд и В, которые в рассматриваемом случае имеют вид

(5- + а.)Лд = 0. (--а,)Вд = 0. (63.4)

Приравнивая нулю определитель этой системы, получим для два различных решения:

a, = -f, а, = -.

Каждое из этих решений дает начало ряду (63.3). Рассматривая оба эти решения, мы получим два ряда (63.3), которые, по доказанному, сходятся и определяют границы области неустойчивости.

Примем сначала Oi = - В этом случае уравнения (63.4) дают

для Вд значение, равное нулю. Величину Лд, остающуюся произвольной, мы можем согласно общей теории принять равной единице. При этих предположениях уравнение для лг, принимает вид

+ X, = - cos Зт - cos 5t.

Для общего решения этого уравнения имеем:

X, = Л1 cos т + В, sin т + £i±fi cos Зт + -g- cos 5т. (63.5)

Это решение является периодическим и содержит две произвольные постоянные Л, и Bj. Так как Хц(0) = ЛцтО. то согласно



Мы будем предполагать, что величина р мала. Чтобы можно было приложить без всяких изменений правила предыдущего параграфа, необходимо изменить независимую переменную таким образом, чтобы период правой части уравнения (63.6) был равен л. Для этого, очевидно, достаточно положить С = 2т, после чего уравнение (63.б)

общей теории мы можем положить Л, = 0. Что же касается постоянной то она определится вместе с из условия периодичности х. Чтобы получить эти условия, подставим в уравнение для лз найденные значения Хд, Ху и щ и приравняем нулю коэффициенты при cost и sin т. Таким путем мы должны согласно общей теории получить два линейных неоднородных уравнения для и из которых они однозначно определяются. В рассматриваемом случае мы получим:

S, = 0, =--32---96 +Т---Т-

Таким путем можно найти и дальнейшие приближения, но мы ограничимся первыми двумя.

Положим теперь а2 = -. В этом случае из уравнений (63.4) находим: Лд = 0, Д)=1. Так как теперь Лд = 0, но Вдф(}, то в выражении (63.5) для Xi мы не можем полагать Ai = Q, но можем положить Z?j - 0. Если теперь найденные значения х, х и ai подставить в уравнение для Xj, то, приравнивая в нем нулю коэффициенты при COST и sint, мы будем иметь:

Л1 = 0,

(Д2 - if ,а\ 4 «3 «2- 32 -ЬТ"" 96 "Т"-

Таким образом, первая область критических значений угловой скорости (О вала определяется неравенствами

1-р + -(21а?-4а1-6а,а2-48аз)(г2+ ... <<

<1+1а,(г + -(21а?-4аНба,а2Ч 48аз)(г2+ ...

Пример 2. Определим вторую область неустойчивости для колебаний в электрическом контуре с переменной емкостью, рассмотренных в § 60. Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид

ТР°-(1+(о) = 0, (63.6)



Я2 = -

LCo(o •

Для определения области неустойчивости, расположенной вблизи А, = 2, полагаем в уравнении (63.7)

A2 = 4 + aiP + a2f2 ...

и стараемся удовлетворить ему формальным рядом

= -о + !-1 + !-2Н- ••• с периодическими (периода л) коэффициентами. При этом Хд = cos 2т + Bq sin 2т.

Далее,

+ 4х, = - 4хо cos 2т - а,Хо =

= - 2Ло - 2Ло cos 4т - 2В sin 4т - а, (Aq cos 2т + Во sin 2т), + 4x2 = - 4лг, cos 2т - агХо,

4Хз = - 4x2 cos 2т - агХ, - Ог cos 2т • Xq - oXq -

- а,Х2 - а, cos 2т • х,.

Приравнивая нулю коэффициенты при cos 2т и sin 2т в уравнении для Х], находим:

а, = О, (63.8)

причем величины Ло и Bq остаются произвольными. Мы имеем как раз дело с отмеченным в предыдущем параграфе случаем, когда введенная там величина Р + у обращается в нуль. Как мы там указывали, величины Aq и Вд будут, вообще говоря, связанными между собой, но эта связь установится при рассмотрении дальнейших приближений. Вычислим эти приближения. На основании (63.8) имеем:

х, = --ф 4-- cos 4т+ sin 4т + Л, cos 2т + В, sin 2т, (63.9)

где Л] и В[ - произвольные постоянные. Так как мы еще не знаем, какая из величин Ло и Во заведомо отлична от нуля, то мы не можем пока ни одну из постоянных Л, и В, принять равной нулю. Подставив Хо и X, в уравнение для Хг, получим:

+ 4X2 = (у - Ог) Ао cos 2т - + «2) Во sin 2т -

- 2Л, cos 4т - 2Bi sin4т - cos 6т - sin 6т - 2Л,.

примет вид

+ 2(l + pcos2t)x = 0, (63.7J

4L - RC,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [85] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0058