Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Условия периодичности дают:

-а2)Ло = 0. {1щВ, = 0.

и следовательно, для аз получаются два различных решения. Имеем, таким образом, два варианта. При первом варианте

a2 = j, Ло=1, Вд = 0, а при втором варианте

а2 = -у. 0 = 0, Во=1-

Рассмотрим сначала первый вариант. Так как в этом варианте АдфО, то мы можем положить в (63.9) величину А, равной нулю. После этого получим:

= fii sin 4т + cos 6т + 2 sin 2т,

где - произвольная постоянная. Подставляя найденные приближения в уравнение для и выписывая условия периодичности этой функции, получим два линейных неоднородных уравнения для аз и By. Эти уравнения имеют вид

В, = 0, аз = 0.

Аналогично подсчитываются и дальнейшие приближения. При этом в отличие от предыдущего примера, соответствующего случаю р2 у2 о, постоянные В/, входящие в х, определяются не из условия периодичности функций x,.,, а из условия периодичности функций x,l 2

Рассмотрим теперь второй вариант. В этом случае

Ху = -g- sin 4т + Л; cos 2т,

Хз = - Y 1 + "g" "1 cos 4т 4- sin 6т -- Лз cos 2т,

и условия периодичности для Х3 дают:

аз = 0, Л1 = 0.

Таким образом, с точностью до величин третьего порядка относительно р вторая область значений частоты со изменения емкости, при которых уравнение (63.7) имеет неустойчивые решения, определяется неравенствами

4-lp2+...i: <4 + p2+ ... (63.10)



Из этих неравенств видно, что, для того чтобы указанная область неустойчивости существовала, необходимо прежде всего, чтобы выполнялось условие

4L -/?2Со>0.

Мы будем предполагать, что это условие выполняется. Но и при выполнении этого условия еще нельзя быть уверенным, что в указанной области в рассматриваемом электрическом контуре действительно возникнут неустойчивые колебания. Дело в том, что переменная х, фигурирующая в уравнении (63.7), является вспомогательной. Для тока q имеем, как мы это видели в § 60, выражение

-11 q = e X.

Следовательно, на границах области (63.10), где вещественная

часть характеристических показателей уравнения (63.7) равна нулю,

колебания тока будут затухающими. Если при этом величина

достаточно мала, а именно меньше наибольшего значения вещественной части характеристического показателя уравнения (63.7) в области (63.10), то будет существовать область неустойчивости для тока q, расположенная внутри области (63.10). Если это условие

относительно - не выполняется, то во всей области (63.10) колебания тока будут затухающими.

Пример 3. Рассмотрим снова уравнение (63.7) и определим границы области неустойчивости, расположенной вблизи Х = Ъ.

Полагая

Я2 = 9 + а,ц + а2ц2+ ...

X = AqC0s3x-]- BgS\nX-lXXi-]-nX2-{- ....

будем теперь иметь:

+ 91 = 9 cos 2т • - а,лГо,

4- 92 = - 9 cos 2х Xi - а, (лг, + cos 2т • х) - агд,

+ 9лгз = - 9 cos 2т • 2 - а, (лг2 + cos 2т лг,) -

- а2 (лг, + cos 2т • лгд) - ах, + 94 = - 9 cos 2т • Хз - а, (х + cos 2т • х) -

- а2 (2 -f cos 2т • х{) - аз (Xj + cos 2т • Xq) - ах. Условие периодичности лг, дает:

ai = 0.



причем Ад и Bq остаются неопределенными. Для лг, получаем выражение

9 9 9 9

X, = - -jg Ло cos т --jg Во sin f + "32-Л cos 5т +-gg-Во sin 5т 4-

4-Л, cos Зт4В, sin3T,

где Л, и В, - произвольные постоянные. Так же как и в предыдущем примере, ни одну из этих постоянных мы не можем пока приравнять нулю. Подставляя в уравнение для найденные значения а, и лг], получим:

= Т (4 0- i) cos t -1 Bq4 B,) sin t

- Y Л, cos 5t - у Bj sin 5t - -g- Лд cos 7т - -g Bg sin 7т 4

+ (w ~ "2) 0 s 3t 4 (- - a) Bo sin 3t, (63.11) и следовательно, условия периодичности имеют вид (ж-)о = 0, (1-а2)Во = 0.

Получающееся отсюда решение для а

«2 =

будет опять двухкратным, причем Ло и Во по-прежнему остаются неопределенными. Из (63.11) находим:

9/9 \ 9/9 \

(-16 Л - i) cos т --f (-f Во4 В,) sin т4

9 32

9 81 81

Л; cos5T4BiSin5T4-25go ЛoCOs7т4BoSin7т4

2560

4 А2 cos Зт 4 2 sin Зт,

где Л2 и Bj-постоянные, остающиеся пока неопределенными.

Уравнение для х после подстановки найденных значений Xj, Xj, а, и а2 принимает вид

dxr, , „ 9 /153 . 9 . , . \

-dT + =--2 (шо-161 + 2]

~ Т (ш 0 + W 1 + 2) sin т - (аз 4 ) Aq cos Зт 4

+ «з) 0 sin 3t - Aq cos 5t

5103

10 240

10 240

BoSin5T -

- y Л2cos5t- y B2 sin 5т4а7 cos 7x-}-b., sin 7т -- cos 9т4 69 sin 9т,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017