где а,, йд, b.j, bg-некоторые вполне определенные коэффициенты, которые нам нет необходимости выписывать. Следовательно, условия периодичности имеют вид

(аз + )Л = 0, («3-)0 = 0.

Эти условия дают два различных значения для 03, и дальнейшие вычисления нужно вести в двух вариантах. При первом варианте мы имеем:

"з = -S 0 = 0. Л=1-

Теперь уже мы можем положить Л1 = Л2 = 0 и во всех дальнейших приближениях в выражения для Х/, не вводить членов с cos Зт. При этих предположениях будем иметь:

1377 9 / 9 о , о \ ,

i 5103 . 9 „ . «7 *7 .

+ Т63840 5т + Взsin5т-cos 7т -sin 7т-

- cos 9т - sin 9т -)- Вз sin Зт,

где В3 - неопределенная постоянная. Подставляя найденные приближения в уравнение для х и составляя условия периодичности этой функции, мы получим два линейных неоднородных уравнения для определения В, и 04. Получим:

R -П г. - 235467 Di - v, «4 - - 327 680 •

Если вычисление приближений продолжить, то последовательно определятся постоянные ад, Og, ... При этом каждая постоянная определится одновременно с постоянной В; 2 из условий периодичности функции х, которые дадут для этих двух величин разрешимую систему линейных неоднородных уравнений.

При втором варианте будем иметь:

729 о , . „

и все дальнейшие вычисления будут такими же, как и при первом варианте, с той лишь разницей, что теперь уже нужно будет положить равными нулю все величины В,, а величины определять из условий периодичности функций х- Для величин Л, и 04 мы получим следующие значения:

л -п г. - 260953

Таким образом, искомая область неустойчивости определяется следующими неравенствами:

„ , 81 , 729 о 236 467 4 , , п

9 + Ж - 515--127680 + • • • < <

о , 81 , , 729 3 , 260953 „4 , <9+64-+5l2 +WWf +•••

В. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ 64. Критерии устойчивости по первому приближению.

Мы переходим теперь к рассмотрению устойчивости периодических движений, когда в дифференциальных уравнениях возмущенного движения учитываются также и нелинейные члены. Допустим, что эти уравнения имеют вид

= (О 1 + • • • + Psn (О Хп + X, it, ЛГ,.....лг„) (64.1)

(s=-l, 2.....и),

где - непрерывные периодические функции периода ©, г Х - нелинейные добавки. Первая основная задача, которая здесь возникает, заключается в установлении необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению, т. е. условий, при которых задача устойчивости для уравнений (64.1) решается уравнениями первого приближения

= PsiXi + • + PsnXn (5=1.2.....n). (64.2)

Решению этой задачи и посвящен настоящий параграф. При этом мы будем предполагать, что нелинейные добавки Х, в уравнениях (64.1) удовлетворяют следующим общим условиям:

1) Существует область

t>tQ, лг,<Я, (64.3)

в которой выполняются неравенства

1.(. ху.....лг„)<Л{лг, + ... + лг„}, (64.4)

где А-некоторая постоянная.

2) В области (64.3) функции Х, непрерывны и удовлетворяют некоторым общим условиям, при которых уравнения (64.1) имеют единственное решение для всякой системы начальных условий, взятых в указанной области.

Из (64.4) вытекает, что функции Х, удовлетворяют также обычному условию X,(t, О, .... 0) = 0.

Хотя мы сейчас рассматриваем устойчивость периодических движений, мы не будем в этом параграфе предполагать, что функции X, по отношению к t являются периодическими, так как все выкладки этого параграфа остаются справедливыми без этого ограничения.

Докажем теперь следующие теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Теорема Х.Если все корни характеристического уравнения системы первого приближения (64.2) имеют модули, меньшие единицы, то невозмуш,енное движение для уравнений (64.1) асимптотически устойчиво при любом выборе функций X,, удовлетворяющих указанным для них условиям, если только постоянная А в неравенствах (64.4) достаточно мала).

Доказательство. Как было показано в § 54, существует линейная подстановка

Уу = /л(01+---+/уЛ0„ (у=1, 2, п) (64.5)

с периодическими (периода со или 2(о) коэффициентами, преобразующая систему линейных уравнений (64.2) с периодическими коэффициентами в систему линейных уравнений

= qsiVi +•+ Я,пУп {s=\,2.....п) (64,6)

с постоянными коэффициентами. При этом детерминант преобразования (64.5) не обращается в нуль ни при каких значениях t, вследствие чего задача устойчивости по отношению к переменным х, эквивалентна задаче устойчивости по отношению к переменным у,. Если преобразование (64.5) применить к уравнениям (64.1), то они примут вид

= Я,1Ух + • • • + qsnVn + Ys it У1.....Уп) (64.7)

(3=1, 2.....и),

где Y, - функции такого же вида, как и X,. В частности, имеем, что в области, в которую преобразуется область (64.3), выполняются неравенства

IVsii. У1. <В{Ы-\----~\-\Уп\] (64.8)

где В - также постоянная, которая будет сколь угодно мала, если А достаточно мало.

) А. М. Ляпунов предполагал, что функции являются аналитическими по отношению к Xi, х„ и нх разложения по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. Однако рассуждения Ляпунова остаются справедливыми и при вышеуказанных общих условиях.