Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [88] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Яп1 Яп1 Япп -

= 0 (64.9)

системы (64.6) являются характеристическими показателями системы (64.2). Так как, по условию, все корни характеристического уравнения системы (64.2) имеют модули, меньшие единицы, то характеристические показатели этой системы будут иметь отрицательные вещественные части.

Таким образом, все корни уравнения (64.9) имеют отрицательные вещественные части. Но тогда существует одна и только одна квадратичная форма V(yi, .... у„), удовлетворяющая уравнению

s=l s=l

и эта форма будет обязательно определенно-положительной. Составим теперь производную по t от формы V в силу уравнений (64.7). Будем иметь:

dt ZusJj dys

Эта производная будет определенно-отрицательной при любом выборе функций Yg, если только величина В в неравенствах (64.8) будет достаточно малой, т. е. если достаточно малой будет величина А в неравенствах (64.4). Но при этом условии функция V удовлетворяет всем условиям теоремы II Ляпунова (§ 46), что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если характеристическое уравнение системы первого приближения (64.2) имеет хотя бы один корень с модулем, большим единицы, то невозмущенное движение для системы (64.1) будет неустойчиво при любом выборе функций Х, удовлетворяющих указанным для них условиям, если только величина А в неравенствах (64.4) достаточно мала.

Доказательство. Так же как и при доказательстве предыдущей теоремы, будем рассматривать вместо системы (64.1) эквивалентную ей систему (64.7). В рассматриваемом случае определяющее уравнение (64.9) имеет, по крайней мере, один корень с положительной вещественной частью. Вследствие этого (теорема 3 § 21) можно найти квадратичную форму V(y,.....у„)> удовлетворяющую

Согласно § 55 корни определяющего уравнения

bl 22 - • Ьп



§ 65] КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ 273

уравнению

где а-некоторое положительное число, причем форма V может принимать положительные значения, т. е. существует область, где

V > 0. Производная составленная в силу уравнений (67.7),

имеет вид

= aV-{-W{t, у1.....у„), (64.10)

есть функция определенно-положительная, каковы бы ни были функции если только величина А в неравенствах (64.4) достаточно мала. Форма V удовлетворяет всем условиям теоремы Н. Г. Четаева о неустойчивости (§ 48). В самом деле, из (64.10) вытекает, что

в области V > О выполняется также неравенство > 0. Кроме того,

как легко видеть, выполняются все остальные условия теоремы Н. Г. Четаева. Отсюда вытекает справедливость теоремы.

§ 65. Критические случаи.

Из теорем предыдущего параграфа вытекает, что задача устойчивости для систем вида (64.1) решается уравнениями первого приближения (64.2) во всех случаях, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет все корни с модулями, меньшими единицы, либо хотя бы один корень с модулем, большим единицы. Сомнительными, следовательно, будут те случаи, когда указанное характеристическое уравнение, не имея корней с модулями, большими единицы, имеет корни с модулями, равными единице. В этом случае определяющее уравнение (64.9) системы (64.6), в которую преобразуются уравнения (64.2), будет иметь часть корней с отрицательными вещественными частями и часть корней с вещественными частями, равными «улю, а именно: корням, равным единице, характеристического уравнения системы (64.2) соответствуют корни, равные нулю, определяющего уравнения (64.9). Корням же характеристического уравнения, равным -1, а также комплексным корням с модулями, равными 1, соответствуют чисто мнимые корни определяющего уравнения (64.9). Таким образом, если в указанных сомнительных случаях пользоваться вместо уравнений (64.1) эквивалентными им



dx. „ ,,

- = X(t, X. у1.....у„).

%- = Яз1У1+ ••• -i-qsnyn + 4sX-i-Ys(t X, у1.....у„)

(5=1, 2.....п).

(65.1)

Во втором критическом случае определяющее уравнение (64.9) имеет пару чисто мнимых корней вида ± Xi, а остальные корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части. Считая,

уравнениями (64.7), то задача устойчивости в этих случаях будет отличаться от задачи устойчивости в критических случаях для установившихся движений только тем, что нелинейные члены будут содержать явно t. И поскольку в критических случаях для установившихся движений нелинейными членами можно распорядиться таким образом, чтобы получить по желанию как устойчивость, так и неустойчивость, то тем более это будет справедливо и в рассматриваемых сейчас случаях, так как эти нелинейные члены мы можем, в частности, выбрать не зависящими от t. Другими словами, если характеристическое уравнение системы первого приближения (64.2) не имеет корней с модулями, большими единицы, но имеет корни с модулями, равными единице, то для решения задачи устойчивости нельзя ограничиться первым приближением и необходимо рассмотреть члены более высоких порядков в уравнениях возмущенного движения. Все такого рода случаи будут, следовательно, принадлежать к числу критических. Мы рассмотрим в этой главе два критических случая:

1) когда характеристическое уравнение первого приближения имеет только один критический корень и этот корень равен единице;

2) когда характеристическое уравнение имеет два критических корня и эти корни оба комплексны и обладают модулями, равными единице.

Мы будем пользоваться уравнениями возмущенного движения, приведенными к виду (64.7). При этом мы вынуждены будем отказаться от решения задачи при тех весьма общих предположениях относительно функций Х, которые были высказаны в предыдущем параграфе, и подчинить эти функции более ограничительным условиям, а именно: мы будем предполагать, что функции Х периодичны относительно t с периодом со и что эти функции разлагаются в ряды

по степеням переменных .....х„, начинающиеся членами не ниже

второго порядка и сходящиеся в области л:<;Я, где Я-некоторое положительное число.

В первом из указанных критических случаев определяющее уравнение (64.9) будет иметь один нулевой корень при остальных корнях с отрицательными вещественными частями. Предполагая, что рассматриваемая система имеет (п-\- 1)-й порядок, мы можем уравнения возмущенного движения привести в этом случае к виду



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [88] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0105