Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [89] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

(65.2)

ЯзхУхЛ--. --{-qsnyn-PsX-qsy-ysit X. у. У1.....Уп)

(5=1. 2.....я).

В уравнениях (65.1) и (65.2) функции X, У л У, будут такого же вида, как и функции X,, а величины q,j, и (7 являются постоянными, причем qj таковы, что уравнение (64.9) имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

Для того чтобы привести уравнения (64.1) к виду (64.7), а следовательно, также к виду (65.1) или (65.2), необходимо, конечно, знать общее решение уравнений (64.2). Мы будем предполагать, что это решение нам действительно известно и что уравнения задачи уже приведены к виду (65.1) или (65.2).

В этой главе мы не будем рассматривать уравнений (65.1) и (65.2) в их общем виде, а ограничимся случаем я = 0. Другими словами, мы будем предполагать, что в первом критическом случае система имеет первый порядок и, следовательно, имеется только одно уравнение возмущенного движения вида

=-X(t,x),

а во втором критическом случае система имеет второй порядок и состоит, следовательно, из двух уравнений вида

lyX{t, х,у). = Xxy{t, X, у).

Общий случай я > О будет рассмотрен в следующей главе, где будут установлены некоторые общие теоремы о критических случаях. Как мы увидим, исследование случая я > О приводится к случаю я = 0. В следующей главе будут рассмотрены также некоторые другие критические случаи.

§ 66. Критический случай, когда характеристическое уравнение имеет один равный единице корень.

Мы переходим к рассмотрению критического случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет один равный единице корень в предположении, что система уравнений возмущенного движения имеет первый порядок. Исследуемое дифференциальное

что порядок системы равен я-)-2, мы можем уравнения возмущенного движения привести к виду

= -Яу + А:(Л X, у, У1, У2.....у„),

= Xx+Y{t, X, у, уи Уг- .... Уп)



d dt

....

и функция V = х будет при g < О удовлетворять условиям теоремы II Ляпунова, а при g > О - условиям теоремы III. Следовательно, в первом случае невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а во втором случае оно неустойчиво.

Итак, при выполнении условия (66.2) невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво при k нечетном и < О, а при k нечетном и > О, а также при к четном оно неустойчиво. Если условие (66.2) не выполняется, то для решения залачи устойчивости необходимо будет подвергнуть уравнение (66.1) некоторому преобразованию, целью которого является приведение уравнения к такому виду, для которого указанное условие выполнялось бы. Это может быть достигнуто двумя различными способами, вследствие чего мы имеем два способа решения задачи устойчивости в интересующем нас случае.

Первый способ решения задачи. Задавшись некоторым числом Nk, преобразуем уравнение (66.1) при помощи подстановки

у = х+ф,(0* + %+1(0*++ ... +Ф(0 (66.3)

где "фдг-некоторые периодические, периода со, функции t,

которые мы постараемся выбрать таким образом, чтобы в преобразованном уравнении первые N коэффициентов были постоянными. Преобразованное уравнение должно, следовательно, иметь вид

-g. = + ... + ау + Г , (t) у + .... (66.4)

уравнение будет иметь вид

=X{t ) = /a(0*+A4i(0*+4- .... (66.1)

где Л 2 и fl - периодические функции t периода со.

Если бы коэффициент Д был постоянной величиной, то задача устойчивости для уравнения (66.1) разрешалась бы чрезвычайно просто. В самом деле, пусть

/j = := const. (66.2)

Тогда, если k является числом четным, то правая часть уравнения (66.1) будет знакоопределенной функцией и функция V - x будет удовлетворять всем условиям теоремы III Ляпунова (§ 47) и, следовательно, невозмущенное движение будет неустойчиво.

При k нечетном знакоопределенным будет выражение



"Т/Т- -"ft -/ft.

а i-Flit, Ф,.....ф, 0

{l = k 1.....N).

(66.6)

Здесь Fi - полиномы относительно ф;.....ф; 1 с периодическими коэффициентами. Эти полиномы зависят от постоянных flj.....не зависят от постоянной а;. Из полученных уравнений функции последовательно определяются одна за другой, но, для того чтобы эти функции вышли периодическими, необходимо, чтобы правые части этих уравнений удовлетворяли некоторым условиям. Эти условия и определяют постоянные а. Действительно, для того чтобы функция вышла периодической, необходимо и достаточно, чтобы среднее значение функции flj - Д равнялось нулю. Это дает:

Таким образом, постоянная получилась вполне определенной. Если она отлична от нуля, то в дальнейших вычислениях нет необходимости, т. е. мы можем в преобразовании (66.3) положить Л/= А. Если же flj = О, то потребуются дальнейшие вычисления.

где а, .... Ад, - некоторые постоянные, а /j, периоди-

ческие функции t. Для нашей цели, как мы видели, достаточно, чтобы в уравнении (66.4) был постоянным коэффициент только при младшей степени х. Однако, как мы сейчас увидим, некоторые из коэффициентов fly могут оказаться равными нулю, и поэтому вычисление этих коэффициентов нужно будет производить до тех пор, пока мы не придем к первому отличному от нуля коэффициенту. Если этим коэффициентом будет а„, то для нашей цели достаточно будет положить N=nt.

Подставляя в уравнение (66.4) вместо у его выражение (66.3), будем иметь:

(1 + йф,х*-+ ... +л/фх-1)(/,х* + А+,х*++ ...) +

+ ... +-х = а,(х + ф,х*+ ... +фх +

+ + ••• ••• (66.5)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим следующие уравнения для функций ф:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [89] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019