(65.2)

ЯзхУхЛ--. --{-qsnyn-PsX-qsy-ysit X. у. У1.....Уп)

(5=1. 2.....я).

В уравнениях (65.1) и (65.2) функции X, У л У, будут такого же вида, как и функции X,, а величины q,j, и (7 являются постоянными, причем qj таковы, что уравнение (64.9) имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

Для того чтобы привести уравнения (64.1) к виду (64.7), а следовательно, также к виду (65.1) или (65.2), необходимо, конечно, знать общее решение уравнений (64.2). Мы будем предполагать, что это решение нам действительно известно и что уравнения задачи уже приведены к виду (65.1) или (65.2).

В этой главе мы не будем рассматривать уравнений (65.1) и (65.2) в их общем виде, а ограничимся случаем я = 0. Другими словами, мы будем предполагать, что в первом критическом случае система имеет первый порядок и, следовательно, имеется только одно уравнение возмущенного движения вида

=-X(t,x),

а во втором критическом случае система имеет второй порядок и состоит, следовательно, из двух уравнений вида

lyX{t, х,у). = Xxy{t, X, у).

Общий случай я > О будет рассмотрен в следующей главе, где будут установлены некоторые общие теоремы о критических случаях. Как мы увидим, исследование случая я > О приводится к случаю я = 0. В следующей главе будут рассмотрены также некоторые другие критические случаи.

§ 66. Критический случай, когда характеристическое уравнение имеет один равный единице корень.

Мы переходим к рассмотрению критического случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет один равный единице корень в предположении, что система уравнений возмущенного движения имеет первый порядок. Исследуемое дифференциальное

что порядок системы равен я-)-2, мы можем уравнения возмущенного движения привести к виду

= -Яу + А:(Л X, у, У1, У2.....у„),

= Xx+Y{t, X, у, уи Уг- .... Уп)

d dt

....

и функция V = х будет при g < О удовлетворять условиям теоремы II Ляпунова, а при g > О - условиям теоремы III. Следовательно, в первом случае невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а во втором случае оно неустойчиво.

Итак, при выполнении условия (66.2) невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво при k нечетном и < О, а при k нечетном и > О, а также при к четном оно неустойчиво. Если условие (66.2) не выполняется, то для решения залачи устойчивости необходимо будет подвергнуть уравнение (66.1) некоторому преобразованию, целью которого является приведение уравнения к такому виду, для которого указанное условие выполнялось бы. Это может быть достигнуто двумя различными способами, вследствие чего мы имеем два способа решения задачи устойчивости в интересующем нас случае.

Первый способ решения задачи. Задавшись некоторым числом Nk, преобразуем уравнение (66.1) при помощи подстановки

у = х+ф,(0* + %+1(0*++ ... +Ф(0 (66.3)

где "фдг-некоторые периодические, периода со, функции t,

которые мы постараемся выбрать таким образом, чтобы в преобразованном уравнении первые N коэффициентов были постоянными. Преобразованное уравнение должно, следовательно, иметь вид

-g. = + ... + ау + Г , (t) у + .... (66.4)

уравнение будет иметь вид

=X{t ) = /a(0*+A4i(0*+4- .... (66.1)

где Л 2 и fl - периодические функции t периода со.

Если бы коэффициент Д был постоянной величиной, то задача устойчивости для уравнения (66.1) разрешалась бы чрезвычайно просто. В самом деле, пусть

/j = := const. (66.2)

Тогда, если k является числом четным, то правая часть уравнения (66.1) будет знакоопределенной функцией и функция V - x будет удовлетворять всем условиям теоремы III Ляпунова (§ 47) и, следовательно, невозмущенное движение будет неустойчиво.

При k нечетном знакоопределенным будет выражение

"Т/Т- -"ft -/ft.

а i-Flit, Ф,.....ф, 0

{l = k 1.....N).

(66.6)

Здесь Fi - полиномы относительно ф;.....ф; 1 с периодическими коэффициентами. Эти полиномы зависят от постоянных flj.....не зависят от постоянной а;. Из полученных уравнений функции последовательно определяются одна за другой, но, для того чтобы эти функции вышли периодическими, необходимо, чтобы правые части этих уравнений удовлетворяли некоторым условиям. Эти условия и определяют постоянные а. Действительно, для того чтобы функция вышла периодической, необходимо и достаточно, чтобы среднее значение функции flj - Д равнялось нулю. Это дает:

Таким образом, постоянная получилась вполне определенной. Если она отлична от нуля, то в дальнейших вычислениях нет необходимости, т. е. мы можем в преобразовании (66.3) положить Л/= А. Если же flj = О, то потребуются дальнейшие вычисления.

где а, .... Ад, - некоторые постоянные, а /j, периоди-

ческие функции t. Для нашей цели, как мы видели, достаточно, чтобы в уравнении (66.4) был постоянным коэффициент только при младшей степени х. Однако, как мы сейчас увидим, некоторые из коэффициентов fly могут оказаться равными нулю, и поэтому вычисление этих коэффициентов нужно будет производить до тех пор, пока мы не придем к первому отличному от нуля коэффициенту. Если этим коэффициентом будет а„, то для нашей цели достаточно будет положить N=nt.

Подставляя в уравнение (66.4) вместо у его выражение (66.3), будем иметь:

(1 + йф,х*-+ ... +л/фх-1)(/,х* + А+,х*++ ...) +

+ ... +-х = а,(х + ф,х*+ ... +фх +

+ + ••• ••• (66.5)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим следующие уравнения для функций ф: