Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Мы будем при этом предполагать, что число У] меньше, чем е, и что оно настолько мало, что

.....ii)<-

Такой выбор числа т], очевидно, возможен, так как V - функция

непрерывная и V (0.....0) = 0.

Подставляя решение x(i) в функцию V, мы получим функцию от времени, которая в силу (9.2) будет не возрастающей, по крайней мере до тех пор, пока величины x{t) будут оставаться в области (9.1). Следовательно, при всех t, при которых Xg(i) лежат в области (9.1), будет выполняться неравенство

V{x(i).....xJi))<V(x.....хО)</. (9.6)

Отсюда непосредственно следует, что при всех t будут выполняться неравенства

х,<е. (9.7)

В самом деле, так как у] < е, то неравенства (9.7) будут выполняться в силу непрерывности x{t), по крайней мере при значениях t, достаточно близких к t. И если поэтому эти неравенства когда-нибудь вообще нарушаются, то должен существовать такой момент времени t = T, при котором хотя бы одна из величин х достигнет численно значения е. Доугими словами, должен существовать такой момент времени t~T, при котором будет выполняться

и рассмотрим множество всех значений величин Xj.....х„, связанных соотношением

х = е (9.3)

(т. е. все точки, лежащие на гранях я-мерного куба со стороной 2е, ребра которого параллельны осям координат и центр которого совпадает с началом координат).

Пусть / -точный нижний предел функции V {х.....х„) при

условии (9.3), так что

Vix. xj>/ при х=е. (9.4)

Число I будет, очевидно, положительным, так как V может принимать на множестве (9.1) только положительные значения, и при этом в силу непрерывности V нижний предел этой функции на множестве (9.3) есть одно из значений, которые она на этом множестве принимает.

Рассмотрим теперь произвольное решение х (t) дифференциальных уравнений возмущенного движения, начальные значения х° = х(д) которого лежат в области

< т]. (9.5)



условие (9.3), и, следовательно, на основании (9.4)

У(х,(Т).....х„(Г))>/.

Это, однако, невозможно, так как в силу е < й множество (9.3) лежит в области (9.1) и, следовательно, при х = е должно выполняться неравенство (9.6).

Таким образом, для всех решений дифференциальных уравнений возмущенного движения, для которых выполняются неравенства (9.5), будут при всех > выполняться неравенства (9.7), что и доказывает устойчивость невозмущенного движения.

Заметим, что из приведенного доказательства вытекает также и способ построения по числу е соответствующего числа т]. Для этого, как видно из предыдущего, необходимо: 1) задавшись числом е, определить число / (е), являющееся точным нижним пределом функции V, при условии (9.3); 2) по полученному числу 1{г) определить Ti(e) так, чтобы при выполнении (9.5) выполнялось неравенство

.....1)<1-

§ 10. Вторая теорема Ляпунова об устойчивости движения.

Рассмотренная в предыдущем параграфе основная теорема Ляпунова может быть дополнена следующей теоремой, принадлежащей также Ляпунову.

Теорема Б. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти знакоопределенную функцию Vix.....Хд), полная производная которой по времени,

составленная в силу этих уравнений, есть функция также знакоопределенная, знака, противоположного с V, то невозмущенное движение устойчиво- асимптотически.

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, мы можем, так же как и раньше, предположить, что V есть функция

определенно-положительная и, следовательно, --определенно-отрицательная, так что в области (9.1) выполняются условия

причем знаки равенства возможны только при = ... =x„ = o.

Пусть е - произвольное положительное число, меньшее h. Так как в рассматриваемом случае выполняются условия предыдущей теоремы, то невозмущенное движение во всяком случае устойчиво. Поэтому найдется такое положительное число Т1(е), что для всякого решения x{t) уравнений (6.1), для которого в начальный момент времени t=tQ выполняются неравенства

[хО[хДд[<г1. (10.1)



V {X, (0. .... х„ (01 = V [X, (ta).....х„ (ta)] +

dt-

Vlxiito).....x„ito)]-Ht~t.

будут при всех ty- tg выполняться неравенства

\Xs(i)\ <е.

Покажем, что при этом будем иметь:

\\mx,(i) = 0, (10.2)

<->со

т. е. что невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

В самом деле, так как рассматриваемое решение все время лежит

в области (9.1), то производная по времени функции V[Xj{t).....x„{t)]

будет по условию теоремы оставаться все время отрицательной, не обращаясь в нуль ни при каких значениях t. Последнее вытекает из того обстоятельства, что функции x(t) не могут обратиться в нуль одновременно ни при каких значениях t, ибо если бы это имело место при каком-нибудь значении t - T, то, приняв Т за начальный момент времени, мы имели бы два разных решения уравнений (6.1) с нулевыми начальными значениями: рассматриваемое x{t) и тривиальное Хх- ... = х„. Это, однако, невозможно, так как уравнения (6.1) таковы, что для них при заданных начальных условиях существует только одно решение.

Итак, производная остается все время отрицательной. Следовательно, функция V [лг, {t), .. ., лг„ {t)] будет монотонной убывающей и поэтому она при ->-оо будет необходимо стремиться к некоторому пределу а, оставаясь все время больше этого предела, так что все время будем иметь:

V[x,{t), .... x„(i)]>a. (10.3)

Докажем, что а = 0. С этой целью допустим противное: что а =5 О и, следовательно, в силу положительности V, а > 0. Так как V есть функция непрерывная, то из (10.3) вытекает, что

х(0 = тах{х,(0..... \x„it)\]>a. (10.4)

где а - некоторое положительное число. Но так как есть функция определенно-отрицательная, то из (10.4) вытекает, что

где b - также положительное число.

Следовательно, при всех tt будет выполняться неравенство

-„ кЧ\ = V IXi Щ).....Х„ Щ)\ -f-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0064