Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [90] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Pjdt. (66.7)

Таким путем мы можем вычислить любое число постоянных а,. Но для нашей цели, как мы уже говорили, достаточно определить лишь первую из них, отличную от нуля. Допустим для определенности, что этой постоянной является а, так что

«ш = ¥=0, aj = a,+i= ... =а„ 1 = 0. (66.8)

Тогда, полагая в (66.3) N=m, мы приведем уравнение (66.1) к виду

==gy"+... (66.9)

Преобразование (66.3), очевидно, обладает тем свойством, что задача устойчивости относительно переменной у эквивалентна задаче устойчивости относительно переменной у. Мы можем поэтому вместо уравнения (66.1) рассматривать уравнение (66.9). Но для последнего, как мы видели, задача устойчивости решается сразу, а именно, при т четном, а также при т нечетном и g положительном невозмущенное движение неустойчиво, а при т нечетном и g отрицательном оно устойчиво и притом асимптотически.

Мы приходим, следовательно, к следующему правилу решения задачи устойчивости в интересующем нас случае.

Делая в уравнении (66.1) подстановку (66.3), стараемся функции •1 подобрать таким образом, чтобы они вышли периодическими) и чтобы уравнение приняло вид (66.4). Для функций ф получаются уравнения (66.6) и постоянные однозначно определяются формулами (66.7). Эти постоянные определяем до тех пор, пока не встретим отличную от нуля. Пусть - первая такая отличная от нуля постоянная. Тогда при т четном невозмущенное движение всегда неустойчиво, а при т нечетном оно неустойчиво при > О и асимптотически устойчиво при < 0.

Сформулированное сейчас правило может быть несколько видоизменено. К этому видоизменению мы придем, рассматривая задачу

) Для нашей задачи нет, конечно, необходимости, чтобы функции были периодическими. Достаточно, чтобы они были ограниченными. Но, как показывают уравнения (66.5), определяющие эти функции, они будут ограниченными только тогда, когда они будут периодическими.

Допустим для определенности, что все постоянные а,,.....ay i

и все функции ijjj.....фу 1 уже вычислены и что последние вышли

периодическими. Тогда функция Р, будет также периодической и условие периодичности ф однозначно определяет постоянную а, и дает для нее следующее значение:



нахождения для уравнения (66.1) первого интеграла. Попытаемся найти для уравнения (66.1) первый интеграл вида

X + + + .. . = const., (66.10)

где Ф; - некоторые периодические функции времени. Необходимо, следовательно, чтобы выполнялось тождественно условие

(1 + ЛФ,х*--ь...)(/,х*+...)-Ьх* + х*+1 + ...=.о.

Сравнение с (66.5) показывает, что функции Ф удовлетворяют уравнениям

= -F„ (66.11)

в которые переходят уравнения (66.6) при = 0. Из уравнений (66.11) функции Ф; будут получаться, вообще говоря, непериодическими.-

Однако, как это следует из (66.8), функции .....m-i совпадут

с функциями ф....."m-i И получзтся периодичсскими. Что же

касается функции Ф, то, как показывают те же равенства (66.8), она наверняка получится непериодической, а именно, для нее будем иметь:

m-=-gt + it\ (66.12)

где Ф(0-некоторая периодическая функция, г g-та же постоянная, которая фигурирует в (66.8). Отсюда непосредственно видно, что при решении задачи устойчивости мы можем руководствоваться следующим правилом.

Стараемся подобрать для уравнения (66.1) первый интеграл вида (66.10) с периодическими коэффициентами Ф. Эта попытка не увенчается в общем случае успехом, так как коэффициенты Ф,- не получатся, вообще говоря, периодическими. Пусть Ф„-первый непериодический коэффициент в ряду Ф, Ф+р . . . Этот коэффициент необходимо будет иметь вид (66.12). Тогда при т четном невозмущенное движение всегда неустойчиво, а при т нечетном оно неустойчиво при > О и асимптотически устойчиво при g <С.

Сформулированное сейчас правило является, очевидно, лишь незначительным видоизменением правила, приведенного выше.

Число т и знак величины g являются, очевидно, некоторыми специфическими характеристиками дифференциального уравнения (66.1). Они не могут поэтому зависеть от способа приведения уравнения (66.1) к виду (66.9), и если это приведение может быть осуществлено различными приемами, то указанные величины получатся при этом одинаковыми. Изложенный нами способ приведения обладает известной неопределенностью, вызванной тем, что функции ф;, определяемые из (66.6) при помощи квадратур, содержат произвольные постоянные. Из вышеизложенного следует, что ни величина т, ни знак



величины g от этих постоянных не зависят и поэтому они могут быть выбраны совершенно произвольно.

Мы предполагали, что, вычисляя функции ip, и постоянные а, мы придем к такому значению i=m, что величина получится отличной от нуля. Может, однако, случиться, что все величины а,-, как бы велик ни был индекс i, получатся равными нулю. В этом случае предыдущие рассуждения неприменимы. Однако, как мы это увидим при рассмотрении второго способа решения задачи устойчивости, в рассматриваемом случае невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически.

- Второй способ решения задачи. Первый способ решения задачи, как мы видели, связан с вопросом о возможности построения для уравнения (66.1) периодического первого интеграла вида (66.10). Второй способ, к изложению которого мы сейчас переходим, связан с возможностью построения для уравнения (66.1) периодического реигения вида

= с-ЬфЛОс*-Ьф,и(Ос*++.... (66.13)

где с - произвольная постоянная, а ф, ф+1, ...-периодические функции периода со.

Подставляя ряд (66.13) в правую часть уравнения (66.1), будем иметь:

Л(С + ф,С* + ф,,,С*и+...)* +

linit,,.....Ф„ ,)с ( = Л), (66.14)

n = k

где - полиномы относительно ф;, ф„ 1 с периодическими коэффициентами. Отсюда вытекает, что, для того чтобы уравнение (66.1) допускало решение вида (66.13), необходимо, чтобы функции ф; удовлетворяли уравнениям

Xiit,,.....Ф, 0. (66.15)

Так как выражения Xi содержат только те из ф, для которых У </, то уравнения (66.15) дают возможность последовательно определять функции ф,-. Однако эти функции не будут, вообще говоря, получаться периодическими. Пусть ф-первая непериодическая функция в ряду ф, ф+1. . • • Тогда эта функция необходимо имеет вид

m = gt+{t). (66.16)

где g - постоянная, а Ф - периодическая функция.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [90] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017