Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [91] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Сделаем теперь в уравнении (66.1) замену переменной

==У + ф*/+ • • • +Ф™-1Г- + Ф™У"-У"- (66.17) Будем на основании (66.14) иметь:

4f-(l +Лф,у*- + .. . + тФу»-) + -ф / + . . .+- y"-gy" =

= Л(у+фУ+••.)*+/*+! (у+фУ+-. + • =

X,/ + Х,У + ... + Ху"- + . .., или, принимая во внимание (66.15),

(1 + Лф,у*-1 + ... + /иФу"-) =

О+ГДОГ+Ч-.... (66.18)

где / ,i(0 - некоторая периодическая функция, а ненаписанные члены имеют порядок, больший /и-f-1, и периодические коэффициенты. Из (66.18) имеем:

l = gy"-\---- (66.19)

где ненаписанные члены имеют порядок, больший т, и периодические коэффициенты.

Сделанное преобразование обладает, очевидно, тем свойством, что задача устойчивости для уравнения (66.1) совпадает с задачей устойчивости для уравнения (66.19). Но для последнего уравнения задача устойчивости решается сразу, и мы приходим к следующему правилу.

Для решения задачи устойчивости для уравнения (66.1) пытаемся удовлетворить ему решением вида (66.13) с периодическими коэффициентами. Эта попытка не увенчается, вообще говоря, успехом, так как коэффициенты ф в общем случае не получатся периодическими. Пусть ф - первый такой непериодический коэффициент. Он необходимо будет иметь вид (66.16). Тогда, если т четное или если т нечетное, но > О, то невозмущенное движение неустойчиво, а если т нечетное и g < О, то это движение устойчиво и притом асимптотически.

Так же как и при первом способе решения задачи, функции ф содержат постоянные интегрирования, выбором которых мы можем распорядиться совершенно произвольно. При этом ни величина т, ни знак величины g не будут зависеть от выбора этих постоянных.

Мы предположили, что среди функций ф встречаются непериодические. Может, однако, случиться, что все функции ф, как бы велико



ни было I, будут периодическими. Покажем, что в этом случае, если постоянные интегрирования, входящие в функции ф, выбирать таким образом, чтобы выполнялись условия ф. (0)=:0, то ряд (66.13) будет получаться сходящимся и действительно представит периодическое решение уравнения (66.1).

в самом деле, так как правая часть уравнения (66.1) аналитична относительно х, то решение этого уравнения, определяемое начальным условием л;(0) = с, может быть разложено в ряд по с, сходящийся при с <а, где а - достаточно малое положительное число. Это число может быть выбрано таким образом, чтобы указанный ряд сходился при всех значениях t на отрезке [О, со]. Пусть

х=с+ф;с*+ф;;С*+1+... (66.20)

- рассматриваемое решение. Из хф) - с вытекает, что ср* (0) = 0. Подставляя (66.20) в (66.1), мы получим для ф* те же уравнения

что и для функций ф., из которых функции ф* в силу ф*(0) = 0 однозначно определяются. Следовательно, если постоянные интегрирования, входящие в функции ф, выбрать таким образом, чтобы и для этих функций выполнялись условия ф; (0)*= о, то функции ф, совпадут с функциями ф*, и ряд (66.13), который совпадет с (66.20), будет также сходиться при достаточно малых значениях с. И это будет справедливо вне зависимости от того, являются ли функции ф периодическими или нет. в рассматриваемом нами случае все эти функции являются периодическими и, следовательно, ряд (66.13) представляет периодическое решение уравнения (66.1). Так как оно содержит произвольную постоянную, то оно является общим решением уравнения (66.1). Это решение будет, очевидно, устойчивым, но не асимптотически. Таким образом, если окажется, что все функции ф;, как бы велик ни был индекс /, являются периодическими, то невозмущенное движение будет устойчиво,, но не асимптотически. Разрешая равенство (66.13). относительно с, получим:

с = + Ф,(0* + Ф,+:(0*++ (66.21)

где ф - периодические функции времени. Соотношение (66.21) определяет, очевидно, первый интеграл уравнения (66.1). Таким образом, если все функции ф,- получаются периодическими, то уравнение (66.1) имеет не только аналитическое периодическое решение, но и аналитический периодический первый интеграл. Отсюда очевидно, что если мы для решения задачи устойчивости в рассматриваемом случае воспользуемся изложенным выше первым методом, то и все функ-



dt db

• = аз4-2а2ф2- 2as\v?t • фг-

- = 04+ 42 + «22 + 2«2% - P C0S2 t - Зо Sin t %

Из условия периодичности Ф2 находим, что а2 = 0, после чего получаем:

cos i \

Ф2 = а cos t

ции г]);, фигурирующие в этом методе, выйдут также периодическими. Справедливо и обратное заключение: если при решении задачи первым методом все функции ф получатся периодическими, то при решении задачи вторым методом все функции выйдут также периодическими. В самом деле, если бы не все функции ф вышли периодическими, то задача устойчивости решалась бы конечным числом членов в уравнении (66.1) независимо от членов достаточно высокого порядка, что, очевидно, находится в противоречии с предположением, что все функции ф являются периодическими. Отсюда непосредственно вытекает, что если при решении задачи устойчивости первым методом все функции ф получатся периодическими, то невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически. Пример 1. Пусть уравнение возмущенного движения имеет вид

= asint x-j-pcost х\ (66,22)

где аир - постоянные.

Для исследования устойчивости по первому способу полагаем:

y = x + 2X + %x + %x-i~ ...

и стараемся функции ф выбрать таким образом, чтобы они были периодическими и чтобы уравнение (66.22) приняло вид

= а2У-а,у+ау+ ....

т. е. чтобы выполнялось тождество

(asin a;2 + Pcos2 • л;4)(1 4-2ф2с + Зфзх2+ . ..) +

+ dt di • - a2(x-fф2+ ...)+aз(x + ф2+ Отсюда находим:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [91] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0015