Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [92] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Далее имеем:

Сз = 0. % = --(sinn +jsin«/).

Подставляя полученные величины Cg, и функции фз- ts в уравнение для Ф4, получаем:

= - р cos21 + аЗ (sin + j sin.

откуда непосредственно следует, что

Таким образом, первый отличный от нуля коэффициент а. имеет четный индекс, откуда вытекает, что невозмущенное движение неустойчиво.

Решим теперь задачу вторым способом. С этой целью пытаемся удовлетворить уравнению (66.22) решением вида

л: = с -f- Ф2С2 + фзсз + ...,

где с - произвольная постоянная, а ф; - периодические функции времени. Подставляя это решение в (66.22) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с, получим:

- = asin3/, 1 = 2а81пЗ/.ф2,

= pcos2/ + asin3/ • ф2 + 2а81пЗ/. Ф3. Отсюда находим:

Ф2 = - а I cos t--3- I,

Фз = sin* ~ Т" "

ф4=-/ + ф(0.

где ф (t) есть периодическая функция. Таким образом, первая непериодическая функция ф; имеет четный индекс, откуда вытекает неустойчивость движения.

Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим систему уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, для которой характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней ± Ы. Эта задача подробно рассматривалась нами в §§ 36-38. Уравнения возмущенного движения имеют вид

= -%yJX{x, у), =lx+Y{x, у), (66.23)



= Я + 0(Л *).

(66.24)

откуда исключением dt находим:

= R{r, «•). . (66.25)

В уравнениях (66.24) и (66.25) функции 0 и /? будут аналитическими относительно г, обращающимися в нуль при г = О,

причем разложения R ш R начинаются членами не ниже второго порядка. Коэффициенты в разложениях этих функций являются полиномами относительно cosu и sinв и, следовательно, будут периодическими функциями .

Из второго уравнения (66.24) следует, что при г, достаточно малом, величина 9 является монотонной функцией времени, неограниченно возрастающей вместе с последним (если при этом г остается достаточно малым). Отсюда непосредственно вытекает, что при решении задачи устойчивости переменная Ь может играть роль времени. Следовательно, задача устойчивости по отношению к переменным х и у для уравнений (66.23) эквивалентна той же задаче по отношению к переменной г для уравнения (66.25). Но последнее уравнение является, очевидно, частным случаем уравнения (66.1), и мы можем его исследовать вышеуказанными методами. В частности, мы можем применить второй метод, что приведет нас, очевидно, к результатам § 36.

§ 67. Критический случай, когда характеристическое уравнение имеет два комплексных кория с модулями, равными единице.

Мы переходим к рассмотрению случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет два комплексных корня с модулями, равными единице. Как уже указывалось выше, мы ограничиваемся в этой главе системами второго порядка. Диффе-

где Л" и к - аналитические функции переменных х, у, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка. Введением полярных координат

x = rcos,, y = rsin9

система (66.23) приводится к виду



ренциальные уравнения задачи установлены в § 65 и имеют вид dx

-af = -ly + X(t, X, у).

и + К(/. X. у).

(67.1)

где X (t, X, у) и Y{t, X, у) - аналитические функции переменных л: и у, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка и обладают коэффициентами, являющимися периодическими функциями времени.

Допустим сначала, что функции Л" и К не зависят от t. Тогда мы будем иметь критический случай для установившихся движений, когда определяющее уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней ± Х(, и порядок системы равен двум. Эта задача подробно рассматривалась нами в §§ 36 - 38. В этих параграфах было показано, что кроме особо исключительных случаев, которые мы сейчас не будем рассматривать, задача устойчивости решается конечным числом членов в разложениях правых частей уравнений возмущенного движения. Допустим для определенности, что задача устойчивости решается первыми т членами, где т, как было показано, всегда нечетно, так что можно положить m~2N-1. Это значит, что если мы вместо уравнений (67.1), которые по предположению не зависят от t, рассмотрим уравнения

. = -lyX2ix, у)+ :.. +2ЛГ-1(. У) + Ф.

Xx+Yix. у)+ ... +K2v-i(, У) + .

(67,2)

где X,, и Y,, - совокупности членов fe-ro порядка в разложениях функций А" и К, то невозмущенное движение будет устойчивым или неустойчивым при любом выборе функций ф и ф, если последние являются аналитическими и их разложения начинаются членами не ниже 2N-T0 порядка. При этом, как было показано в § 37, существует функция Ляпунова V (х, у) вида

V(x, у) = 2+у2 + /з(х, у)+ ... +f2:,(x, у), (67.3)

производная которой, составленная в силу уравнений (67.2), имеет вид

= 0{x + yY+ (67.4)

Здесь fl; - формы fe-ro порядка, не зависящие от ф и ф, О - постоянная и ненаписанные члены имеют порядок, больший 2N. Если G > О, то невозмущенное движение неустойчиво, а если О < О, то оно устойчиво асимптотически. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что V есть функция определенно-положительная.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [92] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0078