Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

а есть функция также знакоопределенная, знак которой совпадает

со знаком G, каковы бы ни были функции ф и ф, удовлетворяющие указанным для них условиям.

Из существования для уравнений (67.2) функции Ляпунова (67.3) можно сделать, однако, более общие выводы. Допустим, что функции ф и ф зависят также от t, по отношению к которому они ограничены, но не обязательно периодичны.

При указанных предположениях выражение (67.4) остается по-прежнему знакоопределенным; следовательно, V по-прежнему является функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы II § 46 или теоремы III § 47. Поэтому невозмущенное движение для уравнений (67.2) будет по-прежнему асимптотическим устойчиво или неустойчиво вне зависимости от функций ф и ф, удовлетворяющих вышеуказанным условиям. Это непосредственно приводит нас к следующему заключению.

Допустим, что в уравнениях (67.1) все члены до некоторого порядка т включительно имеют постоянные коэффициенты, так что время t входит лишь в те члены, порядок которых превосходит т. Отбросив в этих уравнениях все члены выше от-го порядка, рассмотрим полученную таким образом систему уравнений с постоянными коэффициентами. Эта система представляет собой частный случай системы, рассмотренной в §§ 36-38. Допустим, наконец, что задача устойчивости для этой системы с постоянными коэффициентами решается членами порядка не выше т. Тогда если для этой системы получится неустойчивость, то и для системы (67.1) получится неустойчивость, а если для этой системы получится устойчивость (асимптотическая), то и для системы (67.1) будет также иметь место устойчивость (асимптотическая).

Рассмотрим теперь уравнения (67.1) в общем случае. Из вышесказанного следует, что если нам удастся при помощи подходящего преобразования привести уравнения (67.1) к такому виду, в котором t содержалось бы только в членах достаточно высокого порядка, то задача сведется к исследованию системы с постоянными коэффициентами, которую получим, если эти члены высокого порядка, содержащие t, попросту отбросим. Что же касается последней задачи, то она может быть разрешена одним из тех трех приемов, которые были установлены в главе IV.

Таким образом, задача приводится к разысканию такого преобразования переменных х и у в уравнениях (67.1), чтобы преобразованные уравнения сохранили такой же вид, но чтобы в них коэффициенты членов до сколь угодно высокого порядка т были постоянными. Такое преобразование, как показал Ляпунов, может быть действи-

тельно выполнено, если только число - иррационально, что мы и



== ау + К(2)а, X, у)+К№(, X, у) +

(67.5)

где X** и К** - формы fe-ro порядка переменных л: и у с периодическими коэффициентами. Если уравнения были заданы в форме (67.1), то, чтобы перейти к виду (67.5), достаточно будет принять в качестве новых переменных величины x-f-iy и л: - гу. Переменные х и у будут в уравнениях (67.5) комплексно сопряженными, так что второе из этих уравнений получится из первого заменой i на -i, х на у и у на X.

Задавшись теперь числом т, преобразуем уравнения (67.5) при помощи подстановки

х = и + и<2)(Л и, v)-\-u()(t, и, v)+ ... (, и, V). ]

} (67.6)

y = v-\-u()(t, V, И) + И(3)( 4-и«(, V. и), J

где «W(, и, V) и и(*)(, V, и) - формы fe-ro порядка с периодическими коэффициентами. При этом формы (i, v, и) комплексно сопряжены с формами u(i, и, v) и могут быть, следовательно, получены из и*(А и, v) заменой г на -/, и на г» и f на и. Отсюда следует, что переменные и п v являются также комплексно сопряженными.

Преобразование (67.6) мы постараемся подобрать таким образом, чтобы в преобразованных уравнениях члены до порядка т имели постоянные коэффициенты. Эти уравнения должны, следовательно, иметь вид

du dt

=.- l-kv+TP\v, и)+ ... +Z7*"(t. u)+U{t, V, и).

lXu + U\u, v)+ ... +t/""(«. v) + U(t, u. V).

(67.7)

) Относительно этого предположения см. примечание в конце параграфа.

будем предполагать Вычисления Ляпунов располагает таким образом, что задача устойчивости для преобразованных уравнений решается одновременно с выполнением самого преобразования. При этом задача устойчивости решается методом § 36. Однако все вычисления значительно упрощаются, если следовать иному методу, представляющему собой непосредственное развитие метода § 42. К изложению этого метода мы сейчас и переходим.

Так же как и в § 42, мы будем предполагать, что линейная часть уравнений возмущенного движения приведена к комплексному каноническому виду, так что эти уравнения имеют вид

ikx + X»){t X, y) + <3)(, X, у) Ч- ...



Где и\и, V) и и) - формы fe-ro порядка с постоянными

коэффициентами, а функции U (t, и, v) н U (t, v, и) имеют порядок, больший т, и зависят, вообще говоря, от t, по отношению к которому они периодичны. При этом функции /*(г», и) и U (i, v, и) комплексно сопряжены с /*(г/, v) и U(t, и, v).

Подставляя в первое уравнение (67.5) вместо д: и у их выражения (67.6) и принимая во внимание (67.7), будем иметь:

~ di • dt -

гя(и4-и<>+ ...)-+X\t, «4- ...)+ ...

Отсюда, приравнивая члены одинаковых порядков, получим для форм и, V) следующие уравнения:

= аи**+ {t, и, V) (67.8) (/г = 2, 3, ..., т).

Здесь F* - некоторые формы fe-ro порядка переменных и, v, зависящие от тех форм и*, t/*, для которых г < fe. В частности, F(#, и, «) = X*(, и, «). Уравнения (67.8) дают возможность последовательно определять как формы так и формы t/**). Покажем, как это делать.

Допустим с этой целью, что все и и t/*, для которых / < fe, уже вычислены и коэффициенты форм вышли при этом периодическими. Тогда будут известными формами fe-ro порядка с периодическими коэффициентами. Пусть

2 fait)U-vK

где /„1,(0 - известные периодические функции времени периода ю. Положим

uW(t, и. V)= 2 Ua{t)U%, UU, V)= 2 арИ".

где Ла!з - неизвестные постоянные, а «ар () - неизвестные периодические функции времени. Тогда, приравнивая в уравнении для



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019