Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

коэффициенты при подобных членах, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:

(67.9)

Нам нужно найти периодическое решение этих уравнений. Здесь приходится различать два случая в зависимости от того, будет ли величина а-р-1 равна нулю или нет. Допустим сначала, что а-р-1=0. Это, очевидно, возможно только при k нечетном. Пусть fe = 2/i+l. Тогда из а - р-1=0 следует: a = /i-j-l, р = «. Уравнение для «ар (О принимает вид

л+1, л

--/n+l, л + п>

и для того чтобы оно имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы

(67.10)

При этом для и„+1, „ получаем:

Ил+1,л = л + 1,л(0<-л + 1,

Входящую сюда постоянную интегрирования выберем по произволу. Допустим теперь, что а-р-1 ф 0. Рассмотрим уравнение

(67.11)

где с - постоянная, а т5() - произвольная непрерывная периодическая функция t, периода ю. Допустим, что аа Ф pnt, где р - целое число. Тогда уравнение (67.11) имеет частное.решение

Ф* = е"

со /

(67.12)

Это решение является периодическим с периодом ю. В самом деле, из периодичности ф(/) вытекает:

j e-<it)dt j e-(+)(t-j-(i))dt~e- j e-o-itydt



ф*(/ + (0) =

ga (t+a)

. ga(/+co)

еа (/+С0)

. ей (<+«>)

что и доказывает справедливость нашего утверждения. При этом из условия относительно а вытекает, что общее решение ф = ef однородной части уравнения (67.11) не может быть периодическим периода ю, и поэтому формула (67.12) дает единственное периодическое решение уравнения (67.11).

Так как по условию число

иррационально и. следовательно.

Л(а--Р-)~ ™ уравнение (67.9) при а + р-1 О имеет

одно и только одно периодическое решение, какова бы ни была постоянная Лор. Мы будем полагать:

Лар = 0 (а=р+1).

(67.13)

Выбрав таким образом постоянную Лар, мы получим вполне определенное решение для «ag. Это решение может быть вычислено по формуле (67.12). На практике, однако, функции чаще всего бывают конечными тригонометрическими суммами. В этом случае функции «ар проще всего определять методом неопределенных коэффициентов, так как эти функции также получатся конечными тригонометрическими суммами.

Таким образом, мы можем последовательно определить все формы JJ ip„ 9.pQj, „3 (67.13) вытекает, что все формы t/* при

k четном будут тождественно равны нулю, а при k нечетном в этих формах будут отличными от нуля лишь по одному коэффициенту вида (67.10). Следовательно, преобразованные уравнения будут иметь

и, следовательно,

-асо



вид dv

(67.14)

= - %lv-\~Auv-\~Au4-\-.. .+2p n«P«p+i+t/ (t, V, и),

где положено „+i, „ = 2„ n, т = 2р-\~\.

Отбрасывая в уравнениях (67.14) члены U и U, мы получим уравнения с постоянными коэффициентами:

du dt dv dt

= Ш + Лзи2г, + .. . + Ap+y+vP.

(67.15)

Как было показано выше, задача устойчивости для исходной системы (67.5) решается уравнениями (67.15), если для этих последних задача устойчивости решается членами не выше (2р4-1)-порядка. Задача устойчивости для уравнений (67.15) решается сразу без каких бы то ни было дополнительных вычислений. Действительно, уравнения (67.15) имеют как раз вид уравнений (42.3), рассмотренных в § 42. И как было показано в этом параграфе, если А -

первый из коэффициентов А, .....вещественная часть которого

отлична от нуля, то при Ре(Л)>0 невозмущенное движение неустойчиво, а при Ре(Л;)<0 оно устойчиво асимптотически. Отсюда следует, что в преобразовании (67.6) можно положить m = k.

Таким образом, мы приходим к следующему правилу для решения задачи устойчивости в интересующем нас случае.

Делаем в уравнениях (67.5) подстановку

х = и + и<2(/, и. v)+u(t. и, v)+ ....

(3),

y = v + u\t. V, u)-4-u>(t, V. и)+ ...

и стараемся формы подобрать таким образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид (67.15) и чтобы коэффициенты этих форм вышли периодическими. Такое преобразование всегда найдется, и при этом коэффициенты Aj получатся вполне определенными. Эти коэффициенты определяем до тех пор, пока не встретимся с таким, пусть это будет А/, -для которого Яе(А,;)фО. Тогда при Ре(Л;)>0 невозмущенное движение неустойчиво, а при Ре(Л;)<0 оно устойчиво асимптотически.

Может случиться, что при любом значении k, как бы велико оно ни было, Яе{А,;) = 0. Этот исключительный случай мы здесь не рассматриваем.

(3),



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017