Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [95] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка

где ф {t) - периодическая функция времени, периода (о, несоизмеримого с я, обладающая отличным от нуля средним значением, л F -

/ dx \2

аналитическая функция от х и (-тт- , разложение которой не имеет

at j

членов ниже третьего порядка относительно х и . Коэффициенты этого разложения являются периодическими функциями t, периода (о.

Полагая = х - I , т) = х -- i . получим следующую систему:

-§-= il-\(t){l-4f+if{t,

dr dt

(67.16)

где / - вещественная функция. Делаем далее подстановку

= й + й(3)(, и. v)-

Т1 = и+й<(, V, й)+ ...

(67.17)

Так как в уравнениях (67.16) нет членов второго порядка, то можно положить, что и в подстановке (67.17) эти члены отсутствуют. Эту подстановку стараемся подобрать таким образом, чтобы преобразованные уравнения имели вид (67.15). Из этого условия находим:

"*.+ . . . +(l ... I (/« + Лз«2г,+ . ..) +

(du [ dv

+ ... (-/г; + Лзйг»2+...)/(й + й<з>+...)-Ь

+ jf(i)(u-v+...fif(t. й+ t;+...). Приравнивая члены третьего порядка, получим:

i---dj-y-

= /й(3) -1ф()(й -и)3 + (3)(, и, V). (67.18)

где /3) (t, и, V) - совокупность членов третьего порядка в функции f{t, и, V). Пусть

«(3) = йяо (О йЗ + (О U-V + (О UV + ИозЗ.



Тогда приравнивая в (67.18) коэффициенты при vfiv, получим:

+Лз = -ф(0 + /г;(0.

где 117(0 - коэффициент при av в /()( и, v).

Для того чтобы это уравнение имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы величина Определялась формулой

А -i-

Ф(0й + /

i;(0 dt.

Так как по условию вещественная часть А отлична от нуля, то в дальнейших вычислениях нет надобности. Невозмущенное движение будет неустойчиво, если величина

/ q>(t)dt

положительна, и асимптотически устойчиво, если эта величина отрицательна.

Примечание. Мы предположили, что есть число иррациональное. Допустим теперь противное: пусть

где р и д - целые числа. Сделаем в уравнениях (67.1) преобразование переменных

ря , . рл ,

sin г + Т) COS -i- t.

y = -cos + r,sin

коэффициенты которого являются, очевидно, периодическими функциями периода 2д(о. Преобразованные уравнения, как легко видеть, примут вид

4г=а(. I. л).

(67.19)

где S и

Y - аналитические функции и т), разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка, причем коэффициенты разложений являются периодическими функциями периода 2q(i),



Определяющее уравнение линейной части системы (6/719) имеет двойной корень, равный нулю. Таким образом, задача сводится к исследованию критического случая двойного нулевого корня. Этот случай как для установившихся движений, так и для периодических движений будет исследован нами в следующей главе.

§ 68. Устойчивость периодических движений автономных систем.

На практике часто приходится исследовать устойчивость периодических движений динамических систем, описываемых уравнениями, не содержащими явно времени. Такого рода случаи всегда принадлежат к числу критических.

В самом деле, пусть уравнения движения динамической системы имеют вид

%-=Уз(У1.....Уп) (s=l, 2, .... п), (68.1)

где функции Yg не содержат явно t. Относительно этих функций мы будем для простоты предполагать, что они аналитичны в некоторой области пространства О. Допустим, что рассматриваемая система имеет периодическое движение, так что уравнения (68.1) имеют в области О частное решение

у: = Ф,(0. (68.2)

где (t) - периодические функции, период которых мы обозначим через (0. Принимая движение (68.2) за невозмущенное, составим дифференциальные уравнения возмущенного движения, т. е. преобразуем уравнения (68.1) при помощи подстановки

Xs==ys-%(t)- (68.3)

Будем иметь:

= Ps\Xi + • . . + PsnXn + s (. -i.....x„) (68.4)

(s=l, 2.....n).

где X, - аналитические функции переменных .....х„, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих разложений, так же как и коэффициенты р,а. являются периодическими функциями времени, периода «.

Так как уравнения (68.1) не" содержат явно /, то, заменяя в каком-нибудь решении / на t -\- h, где Л - произвольная постоянная,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [95] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0097