мы снова получим решение. Таким образом, уравнения (68.1) имеют решение:

и следовательно, уравнения (68.4) имеют решение

Я = ФЛ + Л) -ФДО-

Так как правые части уравнений (68.1) аналитичны, то функции (fg(t-\-h) непременно разлагаются в ряд по Л, и мы можем писать:

х, = Лф,(0+4лЧ(0+ ••• (68.6)

Подставляя это решение в уравнения (68.4), которым оно должно удовлетворять, и приравнивая коэффициенты при первой степен!! Л, получим:

Эти соотношения показывают, что функции %(t) являются решением уравнений первого приближения системы (68.4). Но так как эти функции, очевидно, периодичны, то мы получили, что система первого приближения уравнений (68.4) имеет периодическое решение. Отсюда следует, что характеристическое уравнение этой системы имеет, по крайней мере, один корень, равный единице. Этот результат установлен впервые Пуанкаре.

Допустим, что остальные л- 1 корней характеристического уравнения системы первого приближения уравнений (68.4) имеют модули, меньшие единицы. Тогда мы будем как раз иметь дело с критическим случаем одного корня характеристического уравнения, равного единице. Как мы знаем, в этом случае задача устойчивости решается нелинейными членами в уравнениях возмущенного движения (68.4). Однако в рассматриваемом случае эти нелинейные члены не являются совершенно произвольными. То обстоятельство, что рассматриваемое периодическое движение принадлежит семейству (68.5), зависящему от произвольной постоянной hp накладывает определенные зависимости не только на первое приближение уравнений возмущенного движения, но и на нелинейные части этих уравнений. Эти зависимости получаются как раз такими, что для устойчивости движения достаточно, чтобы остальные п.- 1 корней характеристического уравнения имели модули, меньше единицы. В этом и заключается теорема, установленная Андроновым и Виттом, которая может быть сформулирована следующим образом.

Теорема. Периодическое движение динамической системы, описываемой уравнениями вида (68.1), будет устойчиво, если

п-1 корней характеристического уравнения первого приближения дифференциальных уравнений возмущенного движения имеют модули, меньшие единицы.

Доказательство. Итак, допустим, что характеристическое уравнение системы первого приближения

dXs 1Г

(68.7)

имеет п- 1 корней с модулями, меньшими единицы. Один корень этого уравнения, по доказанному, равен единице. Тогда система (68.4) при помощи линейного преобразования с периодическими коэффициентами может быть преобразована к виду

dx dt

= X(x.h.....t).

1, 2.....m).

(68.8)

Здесь m = n-1, a,j-постоянные, для которых уравнение

имеет корни только с отрицательными вещественными частями, и у\ X - функции такого же вида, как и X,.

Указанное преобразование преобразует периодическое решение (68.6) уравнений (68.4) в периодическое решение уравнений (68.8), Это решение будет, очевидно, иметь вид

х = Лф1(0 + Л2(0+

1, = Лф„(0 + Л2ф(0+ ....

(68.10)

где ф,-, ф; - периодические функции. Линейная часть этого решения будет являться периодическим решением линейной системы

dx dt

(68.11)

Но по свойству корней уравнения (68.9) единственным периодическим решением системы (68.11) будет

(68.12)

(68.13)

(68.14)

где и и V - функции такого же типа, как и А и S. Все сделанные преобразования таковы, что задача устойчивости для уравнений (68.1) эквивалентна задаче устойчивости для уравнений (68,14). Поэтому мы можем рассматривать эти последние уравнения.

Так как уравнения (68.8) имеют частное решение (68.12), то уравнения (68.14) должны допускать частное решение

u=h, Vi-...

О,

а для этого, очевидно, необходимо, чтобы функции U и обращались в нуль при г;, == ... == = 0. Но в таком случае уравнения (68.14) представляют собой частный случай уравнений (34.2), фигурирующих в теореме, доказанной в § 34. Из последней немедленно вытекает, что невозмущенное движение устойчиво. Более того, можно утверждать, что всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится при оо к одному из движений семеРс" ..а (68.5) и что такими же свойствами, как и невозмущенное движение, обладает всякое движение указанного семейства, если только h достаточно мало.

П р и м е ч а [I и е. Доказанная теорема может быть обобщена •).

Допустим, что динамическая система описывается уравнениями вида

=s(t- Уг.....Уп).

) См. Малкин И, Г., Об устойчивости периодических движений. ПММ, т. V111, вып. 4, 1944; Отроков Н. Ф., К устойчивости периодических интегралов. Учен. зап. Горьковского гое, ун-та, вып. 6, 1938.

и поэтому решение (68.10) имеет вид

х = Л + Л2ф2(0+ .... Is = hs2(.t)+ ••• (5=1. 2..... т).

Установив это, сделаем в уравнениях (68.8) подстановку

Преобразованная система будет, очевидно, иметь вид -j = U(t. и, Vy.....vJ.