Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [97] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

отличающимися от (68.1) тем, что они могут содержать t, по отношению к которому они периодичны с периодом ш. Допустим, что эта система допускает периодическое решение

fs = s{t К.....К) (68-15)

периода (о, зависящее от kn произвольных постоянных. Если не содержат t, то предполагается, что период решения не зависит от hj. Если исследовать устойчивость какого-нибудь движения семейства (68.15), то окажется, что характеристическое уравнение системы первого приближения уравнений возмущенного движения имеет, по крайней мере, k корней, равных единице. Можно показать, что если остальные п - k корней этого уравнения имеют модули, меньшие единицы, то невозмущенное движение устойчиво.



ГЛАВА VI. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ.

А. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

§ 69. Постановка задачи.

Мы переходим теперь к рассмотрению общего случая неустановившихся движений, т. е. к случаю, когда правые части уравнений возмущенного движения содержат явно время t, по отношению к которому они, вообще говоря, не периодичны. Задача при этом делается значительно сложнее, чем в рассмотренных случаях периодических и установившихся движений. Однако к этой задаче приводятся многие важные технические вопросы, в связи с чем за последние годы она привлекает многих исследователей. В настоящей главе мы приводим основные результаты, полученные в теории неустановившихся движений как самим Ляпуновым, так и в последуюших исследованиях.

В разделе А этой главы мы рассматриваем некоторые общие вопросы теории. Сюда относится проблема существования функций Ляпунова (проблема обращения теорем второго метода), устойчивость при постоянно действующих возмущениях и связанный с нею вопрос об опасных и безопасных границах области устойчивости.

В разделе Б рассматривается с точки зрения задачи устойчивости теория линейных уравнений с зависящими от t коэффициентами, т. е. теория первого приближения.

В разделе В рассматриваются критерии устойчивости по первому приближению.

Наконец, в разделе Г рассматривается общая теория критических случаев. Эта теория затем прилагается к установившимся и периодическим движениям. Здесь дается решение задачи устойчивости установившихся движений в критических случаях двух нулевых корней, двух пар чисто мнимых корней, одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения. Аналогичные задачи рассматриваются и для периодических движений.



sit. X,.....х„)+ /?,(/, xi.....х„), (70.3)

где функции характеризуют постоянно действующие возмущающие факторы. Эти функции также определены в области (70.2), где они также непрерывны и удовлетворяют условию, что уравнения (70.3), так же как и уравнения (70.1), имеют при заданных начальных условиях единственное решение.

Функции R, в отличие от функций практически никогда неизвестны. Относительно них можно лишь предполагать, что они удовлетворяют вышеуказанным общим условиям и достаточно малы. В частности, эти функции не обращаются, вообще говоря, в нуль при X, = ... =х„ = 0. Это объясняется тем, что невозмущенное движение является частным решением тех дифференциальных уравнений, которые не учитывают возмущающих факторов, т. е. уравнений (70.1) (если пользоваться переменными х,.....х„), а не уравнений (70.3).

Невозмущенное движение х, = ... = х„ = О будет устойчивым при постоянно действующих возмущениях, когда величины х остаются все время малыми при условии, что они были малыми в начальный момент времени и что возмущения R также малы. Более точное

§ 70, Теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

В § 4 мы уже указывали, что большой практический интерес представляет исследование устойчивости движения не только по отношению к мгновенным возмущениям, но и по отношению к возмущениям, действие которых не прекращается. С точки зрения математической устойчивость по отношению к таким постоянно действующим возмущениям отличается от устойчивости по Ляпунову тем, что возмущаются не только начальные условия движения, но и самые дифференциальные уравнения движения.

Рассматривая невозмущенное движение какой-нибудь системы, составим по обычным правилам дифференциальные уравнения возмущенного движения. Пусть эти уравнения имеют вид

J = X,{t, Xi, .... х„) (5=1, 2.....п). (70.1)

Относительно правых частей этих уравнений мы будем предполагать, что они в области

>0, х,<Я (70.2)

непрерывны и допускают существование единственного решения при заданных начальных условиях. Разумеется, при этом выполняются

обычные соотношения X,{t, 0.....0) = 0.

Наряду с уравнениями (70.1) рассмотрим уравнения



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [97] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013