Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [98] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

+ S < - "2 (1.....x„). (70.5)

) M a л к и H И. Г., Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. ПММ, т. VIII, вып. 3, 1944.

определение было дано в § 4. Это определение в переменных формулируется следующим образом.

Определение. Невозмущенное движение (тривиальное решение Xi= ... =л-„ = 0 уравнений (70Л)) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для всякого положительного г, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа r\i(s) и ЛгС) таких, что всякое решение уравнений (70.3) с начальными значениями л: (при t=tQ), удовлетворяющими неравенствам

H°.<i(e).

при произвольных Rs> удовлетворяющих в области tt, хКе, неравенствам

\Rs(t .....x„)<Ti2(e).

удовлетворяет при всех ti неравенствам

I < 8.

В § 46 была установлена основная теорема второго метода Ляпунова (теорема II) об асимптотической устойчивости. Согласно этой теореме невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова, если для уравнений (70.1) существует функция Ляпунова V со знакоопределенной производной, допускающая бесконечно малый высший предел. Оказывается, что если последнее условие заменить условием, несколько более жестким, что функция V обладает ограниченными частными производными, то невозмущенное движение будет устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Покажем, что имеет место следующая теорема ),

Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (70.1) существует определенно-положительная функция V(t, Хр Хп), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, и если в области (70.2)

частные производные ограничены, то невозмущенное движение устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Доказательство. Согласно условиям теоремы в области (70.2) выполняются неравенства

V(t. Xi.....Xn)>Wi{x.....х„). (70.4)

dV , •s dV



где Wi и W2-определенно-положительные функции, не зависящие от t. Кроме того, применяя теорему о среднем значении, мы можем написать;

где производные вычислены в точке (Qxi.....9д:„) (О < 0 < 1).

Так как производные ограничены, то отсюда следует, что для

всякого положительного числа Л,, как бы мало оно ни было, можно найти такое положительное число Ag, что

V(t Xi.....x„)<h2 при />/о. \xA<hi, (70.6)

т. е. что функция V допускает бесконечно малый высший предел. Пусть X - наибольшая из величин \Хц\- Обозначим через а

точный нижний предел функции WiXi.....х„) при условии

Нхг, где е - произвольное положительное число, меньшее Н. Имеем, следовательно, на основании (70.4)

V(t, Xi.....Хп)>а при />о- JC>8. (70.7)

Пусть /-положительное число, меньшее а. Рассмотрим в пространстве переменных .....х„ подвижную поверхность

V(t, X,.....х„)-/ = 0. (70.8)

Из (70.6) следует, что для всех точек этой поверхности выполняется условие х>-Я, где к - некоторое достаточно малое положительное число. Кроме того, из (70.7) следует, что во всех точках этой поверхности выполняется условие х < е и, следовательно, во всех этих точках и при всех значениях ft выполняется неравенство (70.5). Мы можем поэтому написать:

дУ dt

где k, в силу того что х >- Я, отлично от нуля.

Но тогда в силу ограниченности , можно

малое число 112(8), чтобы при

?.(. Xi, выполнялось неравенство

Jn)l<ll2(8)

найти настолько

(70.9)

I =1 ]v=i

(70.10)

Будем теперь рассматривать величины х как функции времени, удовлетворяющие уравнениям (70.3) в предположении, что выполняются неравенства (70.9). Начальные значения х величин х



(при = о) выбираем согласно условиям

",<rii(e). (70.11)

где положительное число tIj (е) настолько мало, что выполняются неравенства

Г1,<е, ?....."РИ И"<1- (70-12)

Покажем, что при всех > будем иметь:

\х,\<е. (70.13)

В самом деле, функции не могут перестать удовлетворять неравенствам (70.13) иначе, как достигнув таких значений, при которых выполняется неравенство хе. Но тогда на основании (70.7)

функция V{t, Xi{t).....x„(t)) станет большей, чем /, так как

/ < а. Так как в начальный момент эта функция меньше /, то должен быть и такой момент времени, при котором эта функция принимает значение /, переходя от значений, меньших /, к значениям, боль-

/ av \

шим /. Но тогда в этот момент времени I-1 >- О, что противоречит (70.10).

Следовательно, при условиях (70.9) и (70.11) выполняются условия (70.13), что и требовалось доказать.

Примечание. Покажем, что при условиях теоремы имеет место своего рода асимптотическая устойчивость.

Выбрав в неравенствах (70.9) число Ц2 так, чтобы выполнялось неравенство (70.10), мы будем в силу непрерывности иметь также и неравенства

I s=l )v=c

где licl, а < / - положительное число, достаточно близкое к L С уменьшением щ число li будет также уменьшаться, и при г)2=0 это число может быть принято равным нулю. Таким образом,

при всех > 0 производная , составленная в силу системы (70.3),

будет принимать отрицательные значения для всех значений переменных,

лежащих в области, определяемой неравенствами liv(t, .....х„)1.

Для этой области выполняется неравенство х > ц, где ц - достаточно малое положительное число. Вследствие этого мы можем написать, что в указанной области и при всех значениях > выполняется неравенство



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [98] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0075