+ S < - "2 (1.....x„). (70.5)

) M a л к и H И. Г., Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. ПММ, т. VIII, вып. 3, 1944.

определение было дано в § 4. Это определение в переменных формулируется следующим образом.

Определение. Невозмущенное движение (тривиальное решение Xi= ... =л-„ = 0 уравнений (70Л)) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для всякого положительного г, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа r\i(s) и ЛгС) таких, что всякое решение уравнений (70.3) с начальными значениями л: (при t=tQ), удовлетворяющими неравенствам

H°.<i(e).

при произвольных Rs> удовлетворяющих в области tt, хКе, неравенствам

\Rs(t .....x„)<Ti2(e).

удовлетворяет при всех ti неравенствам

I < 8.

В § 46 была установлена основная теорема второго метода Ляпунова (теорема II) об асимптотической устойчивости. Согласно этой теореме невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова, если для уравнений (70.1) существует функция Ляпунова V со знакоопределенной производной, допускающая бесконечно малый высший предел. Оказывается, что если последнее условие заменить условием, несколько более жестким, что функция V обладает ограниченными частными производными, то невозмущенное движение будет устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Покажем, что имеет место следующая теорема ),

Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (70.1) существует определенно-положительная функция V(t, Хр Хп), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, и если в области (70.2)

частные производные ограничены, то невозмущенное движение устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Доказательство. Согласно условиям теоремы в области (70.2) выполняются неравенства

V(t. Xi.....Xn)>Wi{x.....х„). (70.4)

dV , •s dV

где Wi и W2-определенно-положительные функции, не зависящие от t. Кроме того, применяя теорему о среднем значении, мы можем написать;

где производные вычислены в точке (Qxi.....9д:„) (О < 0 < 1).

Так как производные ограничены, то отсюда следует, что для

всякого положительного числа Л,, как бы мало оно ни было, можно найти такое положительное число Ag, что

V(t Xi.....x„)<h2 при />/о. \xA<hi, (70.6)

т. е. что функция V допускает бесконечно малый высший предел. Пусть X - наибольшая из величин \Хц\- Обозначим через а

точный нижний предел функции WiXi.....х„) при условии

Нхг, где е - произвольное положительное число, меньшее Н. Имеем, следовательно, на основании (70.4)

V(t, Xi.....Хп)>а при />о- JC>8. (70.7)

Пусть /-положительное число, меньшее а. Рассмотрим в пространстве переменных .....х„ подвижную поверхность

V(t, X,.....х„)-/ = 0. (70.8)

Из (70.6) следует, что для всех точек этой поверхности выполняется условие х>-Я, где к - некоторое достаточно малое положительное число. Кроме того, из (70.7) следует, что во всех точках этой поверхности выполняется условие х < е и, следовательно, во всех этих точках и при всех значениях ft выполняется неравенство (70.5). Мы можем поэтому написать:

дУ dt

где k, в силу того что х >- Я, отлично от нуля.

Но тогда в силу ограниченности , можно

малое число 112(8), чтобы при

?.(. Xi, выполнялось неравенство

Jn)l<ll2(8)

найти настолько

(70.9)

I =1 ]v=i

(70.10)

Будем теперь рассматривать величины х как функции времени, удовлетворяющие уравнениям (70.3) в предположении, что выполняются неравенства (70.9). Начальные значения х величин х

(при = о) выбираем согласно условиям

",<rii(e). (70.11)

где положительное число tIj (е) настолько мало, что выполняются неравенства

Г1,<е, ?....."РИ И"<1- (70-12)

Покажем, что при всех > будем иметь:

\х,\<е. (70.13)

В самом деле, функции не могут перестать удовлетворять неравенствам (70.13) иначе, как достигнув таких значений, при которых выполняется неравенство хе. Но тогда на основании (70.7)

функция V{t, Xi{t).....x„(t)) станет большей, чем /, так как

/ < а. Так как в начальный момент эта функция меньше /, то должен быть и такой момент времени, при котором эта функция принимает значение /, переходя от значений, меньших /, к значениям, боль-

/ av \

шим /. Но тогда в этот момент времени I-1 >- О, что противоречит (70.10).

Следовательно, при условиях (70.9) и (70.11) выполняются условия (70.13), что и требовалось доказать.

Примечание. Покажем, что при условиях теоремы имеет место своего рода асимптотическая устойчивость.

Выбрав в неравенствах (70.9) число Ц2 так, чтобы выполнялось неравенство (70.10), мы будем в силу непрерывности иметь также и неравенства

I s=l )v=c

где licl, а < / - положительное число, достаточно близкое к L С уменьшением щ число li будет также уменьшаться, и при г)2=0 это число может быть принято равным нулю. Таким образом,

при всех > 0 производная , составленная в силу системы (70.3),

будет принимать отрицательные значения для всех значений переменных,

лежащих в области, определяемой неравенствами liv(t, .....х„)1.

Для этой области выполняется неравенство х > ц, где ц - достаточно малое положительное число. Вследствие этого мы можем написать, что в указанной области и при всех значениях > выполняется неравенство