Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [99] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

где т - отличная от нуля постоянная. Что постоянная т получается отличной от нуля, несмотря на то, что t изменяется в бесконечном интервале, вытекает непосредственно из неравенств (70.5), (70.9) и

условия теоремы, что для -т- существуют не зависящие от t верх-

ние пределы.

Из (70.15) вытекает, что точка (х,.....х„), находившаяся согласно (70.12) в начальный момент внутри области V </, попадает в некоторый момент времени в область V < /j, где и будет затем оставаться. В самом деле, по доказанному выше, точка все время остается внутри области V < /, и если бы она все время находилась вне области V < то все время выполнялось бы неравенство (70.15), а отсюда бы следовало неравенство

y{t- ......А.....А)+\ж<

<v(o. А.....A)-{t-h)-

что невозможно, так как левая часть положительна, а правая при достаточно большом t отрицательна. Таким образом, точка (х,, х„) непременно попадет в некоторый момент времени в область V < 1. Но попав в эту область, точка (Xj.....х„) будет в ней все время

оставаться, так как (- < 0.

\ dt }v=u

Таким образом, при достаточно малых начальных возмущениях точка (Xj, х„) хотя и не будет асимптотически приближаться к началу координат, но будет отбрасываться в некоторую окрестность начала координат, которая может быть сделана сколь угодно малой, если постоянно действующие возмущения достаточно малы.

§ 71. Проблема существования функций Ляпунова.

Таким образом, условия теоремы II второго метода Ляпунова при некоторых небольших добавочных ограничениях (требование ограниченности частных производных вместо условия о бесконечно малом высшем пределе) обеспечивают не только асимптотическую устойчивость в смысле Ляпунова, но и устойчивость более сильную, а именно, устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Отсюда, естественно, возникает вопрос, не являются ли условия теоремы II чрезмерно узкими. Другими словами, возникает вопрос об обратимости теоремы П. Этот вопрос представляет интерес не только в связи с разбираемой сейчас задачей, и он в равной степени относится как к теореме II, так и к остальным основным теоремам второго метода. Действительно, если вторым методом пользоваться как основным для решения задачи устойчивости, т. е. если эту задачу



) См. примечание в конце книги (стр. 523)

2) Малкин И. Г., Das Existenzproblem von Liapounoffschen Funktionen. Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, т. IV, 1929-1930.

) П е р с и д с к и й К. П., Об .одной теореме Ляпунова. ДАН, т. XIV, № 9, 1937.

) М а л к и н И. Г., Проблема существования функций Ляпунова. Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, т. V, I93I.

5) Малкин И. Г., Об устойчивости по первому приближению. Сб. научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 3, 1935.

") П е р с и д с к и й К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском гос. ун-те, т. VIII, 1936-1937.

О М а S S е г а I. L., On Liapounoffs condition of stability. Annals of Mathematics, T. 50, № 3, 1949.

сводить к попыткам построения функций Ляпунова, то должна быть уверенность, что такие функции каждый раз действительно существ)гют.

Поставленная таким образом проблема существования функций Ляпунова является очень трудной и до сих пор не получила полного разрешения 1). Впервые занимаясь этой задачей, авторе) рассматривал только установившиеся движения для систем второго порядка. Было показано, что теорема I Ляпунова необратима, т. е. было показано, что невозмущенное движение может быть устойчиво и в то же время может не существовать знакоопределенной функции, для которой производная в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной, противоположного знака. При этом речь шла о функциях, не зависящих от t. Было, однако, показано, что можно всегда найти функцию другого вида, являющуюся обобщением функций Ляпунова.

Обращением теоремы I занимался также К. П. Персидский З), который рассматривал произвольные системы уравнений возмущенного движения. К. П. Персидский показал, что в случае устойчивости для уравнений возмущенного движения всегда существуют особые функции, являющиеся обобщением функций Ляпунова.

Обращению теоремы II также посвящено несколько работ. Автором была показана) обратимость этой теоремы для систем второго порядка с постоянными коэффициентами. Им же были установлены*) достаточные условия существования функций, удовлетворяющих всем условиям теоремы II для системы линейных уравнений с переменными коэффициентами. К. П. Персидский показал), что эти условия являются также необходимыми. . При этом установлено, что одной лишь асимптотической устойчивости недостаточно для существования указанной функции."" Эти результаты, имеющие непосредственную связь с теорией устойчивости по первому приближению, излагаются ниже, в § 75.

И. Л. Массера) подверг детальному анализу теоремы I и II Ляпунова, а также их различные обобщения. Им было, в частности, показано, что теорема II обратима для установившихся и периоди-



являются по отношению к t периодическими функциями, периода ю. Мы не исключаем при этом из рассмотрения тот частный случай, когда X, совсем не зависят от t. Мы будем предполагать, что в области tO, \х,\-Н функции X, обладают непрерывными частными производными первого порядка по переменным х,. Пусть

sPsit- А.....А я (=1. 2.....п),

- решение системы (72.1), определяемое начальными условиями

Согласно известной теореме о зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий 2) функции будут обладать непрерывными частными производными первого порядка по переменным t, х.....х для всех значений этих переменных, лежащих в области /о<ю, [хЯ<Я, и при всех значениях/,

) Б а р б а ш и н Е. А., О существовании гладких решений некоторых линейных уравнений с частными производными. ДАН, т. XXII, № 3, 1950; см также примечание в конце книги (стр. 524)

) См., например, Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, стр 298, изд. 5-е, Гостехиздат, 1950.

ческих движений. Показано, более тою, что при асимптотической устойчивости в указанных случаях существует функция V, удовлетворяющая не только условиям теоремы П, но и более жестким условиям теоремы предыдущего параграфа об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, т. е. что функция V обладает ограниченными частными производными. Отсюда вытекает, что установившиеся и периодические движения резко отличаются в отношении обратимости теоремы II от общего случая неустановившихся движений, для которых, как указано выше, теорема не обратима даже для линейных уравнений.

Результаты И. Л. Массера относительно установившихся и периодических движений приводятся в двух следующих параграфах. Эти результаты, как мы увидим, позволяют установить некоторые важные обшде предложения. Для случая установившихся движений результаты И. Л. Массера уточнены Е. А. Барбашиным

§ 72. Некоторые свойства установившихся и периодических движений.

Допустим, что правые части уравнений возмущенного движения

-=X(t. xi.....х„) (s=I, 2.....п). (72.1)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [99] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013