Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Соответствие оригиналов и изображений можно записать с помощью знака соответствия:

f{t)F{s); (2.102)

f{at)~{l/a)F{sla). (2.103)

Убедиться в справедливости соотношения (2.103) можно, подставив {2.100) в интеграл Лапласа.

Если некоторая функция времени начинается не в момент = 0, а запаздывает и начинается в момент t=a, а до этого равна нулю, то такую функцию можно обозначить

y{t)=fit-a)uea{t-a). (2.104)

Подставляя ее в интеграл Лапласа, имеем

Y{s)=ff(t-a)e-m.

Вводя новую переменную интегрирования x = t - a, получаем

Y{s)= e-«/f (т) e--dx = e-«*f (s). (2.105)

Следовательно, запаздывание функции времени на время t = a соответствует умножению изображения на величину е-

Часто бывает необходимо преобразовать по Лапласу производные и интегралы от функции времени. Если

y{t)dfit)/dt, (2.106)

то, подставляя производную в интеграл Лапласа, получаем

о dt

Интегрируя по частям, имеем

ОО оо

У (S) = / (Ое-*\+sff{t)e-tdt = sF(s) -f (0) (2.107)

0 0

Bo многих случаях начальное значение функции f (0) равно нулю. Тогда дифференцированию оригинала соответствует умножение на S изображения.

Если функция времени равна интегралу от другой функции времени

y{t)=Jf{t)dt, (2.108)

то, дифференцируя это равенство, получаем dy(t)/dt=f(t).

Подставляя это в интеграл Лапласа, имеем sF(s)-t/(0)=/(s).



в соответствии с (2.108) y(0)=Q, поэтому

sYis)F{s), откуда

Y{s) = {\/s)F{s). (2.109)

Следовательно, интегрированию оригинала всегда соответствует деление на s изображения, что и отражено в строке 18 таблицы соответствий.

Таблица соответствий позволяет, не прибегая к интегралу Лапласа, находить изображение по оригиналу или по изображению восстанавливать оригинал.

Конечно, нет особого смысла в том, чтобы сначала находить изображение по оригиналу, а затем по изображению восстанавливать известный нам оригинал. Смысл появляется, когда изображение является результатом выполнения некоторых алгебраических операций над несколькими изображениями, и проявляется в том, что эти алгебраические операции проще, чем операции с оригиналами, например такими, как решение дифференциальных уравнений.

Покажем это для колебательного контура, в который включена некоторая ЭДС e{t) произвольной формы (см. рис. 2.14).

В соответствии с законом Кирхгофа получим следующее уравнение:

e(t)L--Lji(t)dt + n{t). (2.110)

at С

Считая начальные токи и заряды равными нулю, применяем преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. В результате получим

E{s)LsI{s) + -I(s)+rI{s).

Отсюда

/(s)=£(s)/Z(s), (2.111)

Z(s)=sL-+-i-+г. (2.112)

Известно, что

/(jco)=£(jco)/Z(jcu), (2.113)

Z(jcu)=j(oL-f l/jcoC + r. (2.114)

Сравнивая (2.111) и (2.113), видим, что для определения I{s) можно не составлять дифференциальное уравнение, а воспользоваться хорошо известным выражением (2.113),, заменив в нем j(B на S.

Выражение (2.111) еще не дает тока, а дает лишь его изображение, но, пользуясь таблицей соответствий, по нему легко опре-



делить амплитуду и форму тока для любой формы ЭДС, включенной в момент = 0.

Покажем это на примерах.

Пример. Для интегрирующей НС-цепя (см. рис. 2.6) была дана без доказательства переходная характеристика. Теперь докажем справедливость приведенного ранее выражения (2.25). Согласно (2.18) коэффициент передачи

Uex(/cu) l-bjcor Отсюда следует, что

0„Mx(ju))=/((jO))f/«(iO)).

Заменяя /со на s, получаем

Согласно (2.99) или строке 2 таблицы соответствий £/,(s)==.I/s.

Следовательно,

Согласно строке 5 таблицы соответствий находим и,«=с(0=Л.(0 = 1-ехр(-/Г),

что совпадает с выражением (2.25) и доказывает его справедливость.

Пример. Найдем переходную характеристику для LCr-цепи, показанной на рис. 2.35,

Коэффициент передачи цепи

UsxQin) JcoL-t-l/jcoC-f-r Заменяя /со на s, получаем

г S s

i*C,(s) =

L „ г 1

s-\-2as + (i)l

где a-r/2L, <s,o=MfLC

- коэффициент затухания и резонансная частота соответственно. Разлагая знаменатель на множители, получаем

K(s) =2а

[s-pi){s-pi)

(2.115)

(2.116) (2.117)

(2.118)

Рис. 2.35. 1Сл-цепь



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0091