Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Рис. 18.1. Спектр гармонического колебания

Рис. 18.2. Двусторонний спектр гармонического колебания

Часто бывает удобно представить гармонический сигнал (18.1) в комплексной форме

и (О = 0,5[/шеК»,«+ф,) + 0,5г7теК-"1*-ф1).

(18.2)

При такой записи допускаются не только положительные, но и отрицательные значения частоты. Хотя колебаний с отрицательной частотой физически не существует, тем не менее ей можно придать определенный смысл. Действительно, колебание (18.1) можно рассматривать как проекцию на вещественную ось вектора с амплитудой Ьт и начальной фазой ф1, вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой (Oi = 2nfi. То же самое колебание согласно (18.2) может рассматриваться как сумма двух векторов с положительной амплитудой, вращающихся с одинаковой частотой, но в противоположные стороны. Двусторонний спектр колебания (18.2) показан на рис. 18.2.

Ряд Фурье. Периодический сигнал, заданный на интервале значений t 01 - оо до оо и удовлетворяющий условиям Дирихле, можно представить в виде суммы гармонических колебаний, описываемой рядом Фурье:

(18.3)

где коэффициент

I г/2 -т/2

(18.4)

является комплексной величиной, определяющей амплитуду и фазу п-п гармоники основной частоты fi = (0i/2n= 1/7. Постоянная составляющая периодического сигнала

1 т/2

и==Со=- / u{t)dt.

-т/2

(18.5)



Амплитуда п-й гармоники при одностороннем представлении спектра

Umn=\2Cn\. (18.6)

Среднеквадратическое значение п-й гармоники

Un=Umnin=\y2Cn\. (18.7)

Мощность, выделяемая сигналом на сопротивлении нагрузки в I Ом,

(18.8)

Прямоугольные периодические импульсы, В радиоэлектронике часто применяются прямоугольные периодические импульсы напряжения. На рис. 18.3 показан отрезок последовательности прямоугольных импульсов длительностью % с периодом следования Т. Такие импульсы применяются, например, в радиолокации и телевидении. Длительность импульсов % может измеряться" микросекундами или долями микросекунды, а иногда и долями наносекунды. Что касается периода следования импульсов Т, то он может в сотни и тысячи раз превышать длительность импульсов. Отношение Т/х называется скважностью.

Для периодической последовательности прямоугольных импульсов напряжения комплексные амплитуды гармоник

Т -т/1

где Fi = Q,/2n=l/T. Следовательно,

Лт sin ШР[Х

П=-оо

(18.9)

(18.10)

Рис. 18.3. Периодические пря- моугольные импульсы

t/г о г/г

lit о l/f

/г/т- з/г-Л Т

Рис, 18.4. Спектр периодических прямоугольных импульсов



Амплитудный спектр такой последовательности показан на рис. 18.4. В частном случае при т=7/2 nnEi%=nnl2, поэтому

cos3Qi/+ ... у . 118.11)

u{t)=A

cos Qi/ +

Это колебание состоит из постоянной составляющей Л/2 и прямоугольной волны с амплитудой Л/2.

Высокочастотные периодические импульсы. Пусть имеется высокочастотное косинусоидальное колебание e{t), для которого колебание u{t), показанное на рис. 18.3, является огибающей:

e{t) =w(/)cos (Mot.

Используя соотношение (18.10), получаем

sin ntiFit

e]"icosoio =

т 2j

т

sin nnFit mFit

cos((Oo-f nOi)/.

(18.12)

Следовательно, спектр высокочастотного гармонического колебания, модулированного прямоугольными импульсами, совпадает со спектром, показанным на рис. 18.4, но смещен вправо по оси частот на величину несущей частоты /о. Такое модулированное колебание не является периодическим, если несущая частота fo и частота повторения модулирующих импульсов Fi не находится в кратном соотношении.

18.2. СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Интеграл Фурье. Если периодическую функцию можно представить рядом Фурье в виде суммы гармонических составляющих, то непериодическую функцию при выполнении определенных условий можно представить интегралом Фурье.

Не строгим, но наглядным является представление об интеграле Фурье как о предельной форме ряда Фурье при стремлении периода функции Т к бесконечности. Действительно, при увеличении периода Т расстояние вдоль оси частот между гармониками ряда, равное \/Т, сокращается и линейчатый спектр в пределе становится непрерывным.

Достаточным, нО не необходимым условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функции, т. е. конечность интеграла

fluit)\dt.

Нельзя непосредственно применять преобразование Фурье к скачку напряжения или к другой функции, не убывающей или медленно убывающей на бесконечности. Однако можно ограничить продолжительность функции любым достаточно большим от-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0082