Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

резком времени или умножить такую функцию на медленно затухающую экспоненту, удовлетворив тем самым условие абсолютной интегрируемости.

В случае абсолютной интегрируемости функции времени u{t) ее спектральную функцию U{f), называемую также комплексным спектром, можно определить с помощью прямого преобразования Фурье

U{f)= J u{t)e-i<tdt, (18.13)

причем первоначальную функцию времени можно с помощью обратного преобразования Фурье представить в виде

u{i) / U{f)&i<tdf. (18.14)

Формула обратного преобразования Фурье (18.14) позволяет восстановить сигнал по его спектру или, например, найти сигнал на выходе четырехполюсника. В самом деле, если на входе четырехполюсника с передаточной функцией Н (f) действует напряжение Ui{t), имеющее спектр Ui{f), то спектр на его выходе

U2{f)=H{f)Ui{f).

Подставляя это соотношение в (18.14), получаем

«2(0= 7я(/)[;,(/)Ы»*й/. (18.15)

Заслуживает упоминания физическая наглядность рассуждения, согласно которому соотношение (18.14) означает, что сигнал является бесконечной суммой гармонических функций с комплексными амплитудами Ui{f)df вдоль всей оси частот от - оо до оо или, что то же самое, суммой гармонических колебаний с комплексными амплитудами 2U-i{f)df вдоль интервала частот от О до оо.

Скачок напряжения. Скачком напряжения, или единичной функцией, называется функция, определяемая равенством

ult) 0 при t<0; (18 16)

\ 1 при tO.

Найдем спектр такой функции. Непосредственно сделать этого нельзя, так как единичный скачок не удовлетворяет условию интегрируемости. Можно, однако, несколько видоизменить задачу. Умножим функцию (18.16) на затухающую экспоненту и будем искать спектр для функции

и(П= J0 при /<0;



Спектр данной функции

Переходя к пределу при получаем спектр скачка напря-

жения

2 ]2nf

(18.17)

где 6(f)-дельта-функция от частоты f.

Дельта-функция. Дельта-функция некоторой переменной определяется следующими равенствами:

8{х-Хо)==0 при хфха; (18.18)

f b(x-Xo)dx=\.

При x=Xq дельта-функция имеет бесконечное значение.

Когда она является функцией времени, ее называют еще единичным временным импульсом. Единичный импульс можно рассматривать как предел, к которому стремится импульс единичной площади, имеющий форму прямоугольника, треугольника, колокола и т. д., при стремлении длительности импульса т к нулю.

Согласно (18.18)

/ u{i)d{i-io)dt=u{tQ).

(18.19)

Единичный импульс напряжения u(t)=8{t) имеет спектр V{f)= / 6(0e-J"«=l. (18.20)

Единичный импульс имеет равномерный спектр, его спектральная функция для любой частоты равна единице.

Прямоугольный импульс. Рассмотрим случай, когда сигнал представляет собой одиночный прямоугольный импульс, располо- женный симметрично относительно начала отсчета времени. Если амплитуда импульса равна А, а длительность т, то такой импульс является следующей функцией времени:

«(О

го при / >т/2; \А при -т/2 </<т/2.

Спектр прямоугольного импульса

-г/2

(18.21)

(18.22)

Функция sinmf/mf, определяющая спектр прямоугольного импульса, показана на рис. 18.5.



Sl n ttrf/ff-tf 1

0. 13

/r -г/Л

0,?}

Рис. 18.5. Спектр одииочного пря-мо.угольного импульса

оо 2А °°

Колоколообразный импульс.

Функция

ы(0=Ле-Р* (18.23)

называется колоколообразным или гауссовским импульсом. Спектр такого импульса

7 Ле-(Р+»ад/ = Ле-"Р-"Х

Учитывая, что интеграл в правой части равен Уя/2, получаем C/(f)= fee-«VP\ (18.24)

Замечательным свойством кол околообразного импульса является то, что его спектр также имеет колоколообразную форму. Кроме того, такой импульс имеет производные любого порядка. Его недостатком является расплывчатость во времени. Теоретически импульс существует в течение всего времени. Несмотря на это, импульс обладает высокой сосредоточенностью во времени при заданной сосредоточенности по частоте [38]. Другими словами, произведение длительности импульса на некотором относительном уровне на полосу спектра на том же уровне у колоколо-образного импульса мало.

Поясним этот факт несколько подробнее. Подставим в качестве р в (18.12) величину,

Р = 2/т. (18.25)

Величину т можно назвать длительностью импульса на уровне 1/е, так как при /=т/2 высота импульса падает в е раз. В этом случае выражение (18.24) для спектра примет вид

C/(f)= -ЛтУяе-с-да,

(18.26)

откуда следует, что ширина спектра на уровне 1/е при одностороннем отсчете равна

Л[ = 2/ят. (18.27)

При отсчете на уровне 1/е произведение длительности импуль-. са на ширину спектра

тА/=2/я. (18.28)

Часто длительность и полосу отсчитывают на уровне Уогсч=1/У2«.0,7.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0059