Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

в этом случае согласно (18.23) и (18.24) получаем:

Логарифмируя и перемножая эти равенства, получаем

то,7А/о,7= - In 2«.0,22. (18.29)

Это произведение для колоколообразного импульса значительно меньше, чем для прямоугольного, треугольного или косинусоидального. Например, для прямоугольного импульса произведение длительности импульса на ширину спектра вдвое больше.

18.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ

Формулы прямого и обратного преобразований Фурье устанавливают однозначное соответствие между сигналом u{i) и его спектром U(f). Основные свойства преобразований Фурье, приводимые ниже, позволяют получить более полное представление об этом соответствии и облегчают использование спектральных преобразований при решении практических задач.

Сдвиг сигнала во времени. Пусть «2(0-результат сдвига по времени сигнала Ui{t) на величину to в сторону запаздывания:

"2(0 ="1 (i-M-Спектральная плотность этого сигнала

2(0= /«2(06"/= / Mi(/-/o)e-J»W.

- оо -оо

Вводя новую переменную x = t - to, получаем

t2(f)=e-J»*o 7 a,(T)e-3"cfT = e-J»*of7o(f). (18.30)

Таким образом, сдвиг сигнала по времени на to эквивалентен изменению фазового сдвига составляющих спектра на величину

ф(/) = -(00.

Справедливо и обратное утверждение: дополнительный сдвиг всех составляющих спектра на величину ф(/) = -соо эквивалентен запаздыванию сигнала на время to-

Пример. На рис. 18.6, а показан прямоугольный импульс, симметричный относительно момента =0. Импульс, изображенный на рис. 18.6,6, запаздывает на о=т/2 по отношению к импульсу, указанному на рис. 18.6, а. Спектр второго импульса U2(f)=Ui(f)e-i<i>rfi. Соответствующее изменение фазового спектра видно из рисунка.

Изменение масштаба времени. Рассмотрим сигнал

«2(0="l(«0-

Умножение времени t на постоянный коэффициент а эквивалентно изменению масштаба времени.



f t

-г/г


0 -7C

<p(fl 1

Рис. 18.6. Изменение фазового спектра запаздывающего прямоугольного импульса;

а - прямоугольный импульс и его спектр; б - запаздывающий прямоугольный импульс и его спектр

Следовательно, функция «2(0 принимает те же значения, что и функция Mi(0, но в более ранние или более поздние моменты времени.

Спектральная функция такого сигнала

оо 00

-оо j -о:

Вводя новую переменную % = (11, получаем 2(0 = - / и1(т)еН»Ыт,

откуда

(18.31)

Таким образом, уменьшение длительности импульса любой формы в а раз сопровождается расширением его спектра во столько же раз, и наоборот.



Взаимная обратимость частоты и времени. Обращаясь к формулам прямого и обратного преобразования Фурье (18.13) и (18.14), замечаем их почти полное подобие. Например, заменяя f на /, а if на f в (18.13), получаем

t.(0= / «(f)e-3»*d/,

что эквивалентно (18.14), за исключением знака в показателе экспоненты.

На этом основании приходим к следующему выводу: если сигнал u{t) имеет спектр U{f), то спектр сигнала U{t)-u{-f).

Отсюда следует, в частности, что прямоугольной форме частотного спектра:

t/(f)=e-Ko»; -Up<f<hp;

t/(f)=0; f>f.p

соответствует сигнал

/z(0=«(0 = 2fepf%. (18.32)

Нетрудно показать, что это выражение совпадает с импульсной характеристикой h{t) идеального фильтра нижних частот, амплитудно- и фазочастотная характеристики которого показаны на рис. 18.7.

Отклик идеального фильтра на единичный импульс по времени начинается раньше поступления сигнала на его вход. Отсюда следует, что идеальный фильтр физически нереализуем, но тем не менее является полезной теоретической моделью.

Сложение сигналов и спектров. Из линейности прямого и обратного преобразований Фурье следует, что сигнал u{t) =aiUi{t) + -i-a2«2(0+ • • •> являющийся суммой сигналов, имеет спектр

t/(f)=a,[/i(f)+a2t/2(f)-f ... (18.33)

Умножение сигналов и спектров. Рассмотрим сначала сигнал, являющийся сверткой двух сигналов:

И(г) =«lI/)*«2(0 = / «l(T)«2(/-T)<iT.

Рис. 18.7. Амплитудно- и фазочастотная характеристики идеального фильтра нижних частот




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0018